[科普中国]-极小理想

极小理想是一类特殊理想，是与极大理想相对偶的概念。

环R的一个左(右)理想a，若a不真含R的非零左(右)理想，则称a为R的极小左(右)理想。类似地，可定义极小理想。极小理想在本原环理论中有重要作用。

定义若环 R 的（左，右）理想 I 满足：

① R 真包含 I ；

② 真包含 I 的（左，右）理想只有 R，则称 I 为 R 的极大 [左，右] 理想(maximal [left,right] ideal)。

若环 R 的（左，右）理想 I 满足：

1）零理想真包含于 I；

2）真包含于 I 的（左，右）理想只有零理想，则称 I 为 R 的极小 [左，右]理想 (minimal [left,right] ideal)。

理想[ideal]

若环 R 的非空子集 S 关于 R中的加法和乘法封闭，即 ，则 S 本身关于此加法和乘法成为一个环，称为 R 的一个子环(subring)，环R的子集 为 R 的一个子环，称为环 R 的中心(center ofa ring)，记作 Z(R)。

左右理想设 I 为环 R 的子环，若对任意的 及 都有 ，则称 I 为 R 的一个左理想(left ideal)。若对任意的及 都有 ，则称 I 为 R 的一个右理想(right ideal) 。若 I 既是左理想又是右理想，则称 I 为 R 的一个(双边) 理想。环 R 的只含零元的子集为 R 的一个理想，称为零理想(zero ideal)，记作 0 。环 R 本身也是 R 的一个理想，称为单位理想(unit ideal)。

理想的和积若 为环 R 的理想，则集合 仍为 R 的理想，称为理想的和(sum of ideals)，记作 。所有形如 (其中 ) 的元素的有限和的集合亦为R的理想，称为理想 的积(product of ideals)，记作。

理想环若 X 为环 R 的子集，则 R 的包含 X 的所有子环(左理想、右理想、理想) 的交称为由 X 生成的 R 的子环(左理想、右理想、理想) (subring (left ideal,right ideal,ideal) generatedby X)。由一个元素生成的左理想(右理想、理想) 称为主左理想(主右理想、主理想) [principal left ideal (principal right ideal,principal idea)]。若环R 中的每个左(右) 理想都是主左(右) 理想，则称R 为主左(右) 理想环[principalleft (right) ideal ring]。

若 I 为环 R 的理想，则加法商群 关于乘法成为一个环，称为环 R 模理想 I 的剩余类环 (residue class ring) 或商环 (quotient ring,factor ring)。若 为环 R 的两个理想，则加法商群 为商环的理想，称为理想 J与 I 的商 (quotient of ideals)。1

本词条内容贡献者为:

王海侠 - 副教授 - 南京理工大学