[科普中国]-对偶曲线

对偶曲线(dual curve)是研究平面代数曲线的一个重要工具。设C是射影平面中次数m>1的不可约曲线。C的所有非奇异点的切线的全体确定了对偶平面上的一个集合，它的闭包是一条代数曲线C'，称为C的对偶曲线。1

概念对偶曲线是研究平面代数曲线的一个重要工具。设C是射影平面中次数m>1的不可约曲线。C的所有非奇异点的切线的全体确定了对偶平面上的一个集合，它的闭包是一条代数曲线C'，称为C的对偶曲线。C'的对偶曲线就是C。C'的次数m′称为C的类，它是一个射影不变量，正好等于射影平面上过一个一般位置的点与C相切的直线数。

代数曲线代数曲线是代数几何的一个基本概念。一维代数簇称为代数曲线。任意一条代数曲线都可通过正规化把奇点解消，成为一条光滑曲线。再完备化后就得到一条光滑射影代数曲线。由于光滑射影曲线间的双有理映射必定是同构映射，因此代数曲线的双有理分类问题可以归结为光滑射影代数曲线的双正则(即同构)分类问题。以下只考虑复数的情形。这时，复光滑射影代数曲线与紧黎曼面之间有一个一一对应的关系。再考虑这个紧黎曼面上的半纯函数域，就得到了一个C的超越次数等于1的扩域。反之，从C的一个超越次数等于1的扩域出发，可以定义一条抽象射影代数曲线。这就是著名的“三位一体”：光滑射影代数曲线、紧黎曼面以及复数域上超越次数为1的有限生成扩域实质上是同一个对象的三种不同表现方式.从而代数曲线的最重要的数值不变量——亏格也可用各种不同的方式来定义：它既是一个拓扑不变量，也是一个可由紧黎曼面上的整体全纯微分形式空间的维数或以结构层的第一级上同调空间的维数来定义的代数不变量。

黎曼(Riemann，(G.F.)B.)首先考虑了亏格g的所有紧黎曼面的参量空间问题，并发现这个参量空间的维数是3g-3(当g≥2时)，但黎曼未能严格证明它的存在性。20世纪中期，由于芒福德(Mumford，D.B.)等人的工作，人们对代数曲线参量空间簇Mg已经有了较深入的了解。芒福德把格罗腾迪克(Grothendieck，A.)的概形理论用到古典的不变量理论，创立了几何不变量理论，并且，用它证明了Mg的存在性及拟射影性。目前，人们对Mg的结构已有了深入的研究，例如：当g≥23时，Mg是一般型的；当g≤13时，Mg是单有理的。人们猜测，当g