[科普中国]-全子范畴

全子范畴(full subcategory)是一种特殊的子范畴，设D为C的子范畴，若子范畴定义中的条件HomD(A，B)⊆HomC(A，B)改为HomD(A，B)=HomC(A，B)，则称D为C的全子范畴。阿贝尔群范畴是群范畴的全子范畴，交换环范畴是环范畴的全子范畴，但存在不是全子范畴的子范畴。例如，令范畴Φ的对象为一切Sn=(0，1，2，…，n)，n=0，1，…，态射Sn→Sm，n≤m定义为Sn的各分量变成Sm中大于或等于此分量的分量，态射合成按常规合成定义，若限制其中的态射满足f(0)=0，则得到Φ的一个子范畴Φ1，但Φ1不是Φ的全子范畴1。

基本介绍范畴D称为C的子范畴(sub category)，如果是的子类，且，而且D中的态射的合成和C是一样的。例如，Poset是Set的子范畴。又如果，有，则称D是C的全****子范畴(full subcategory)。例如，Grp是Mon的全子范畴。

相关概念模范畴对偶性模范畴对偶性(duality in categories of modules)是模范畴等价的对偶概念。设C和D是两个范畴，和是两个逆变函子，若有自然等价和，则称与是对偶函子，而称C与D是对偶范畴。模论中考虑较多的问题是：在模范畴和中是否有全子范畴和，以及和之间的加性逆变函子，使得与是对偶函子，和是对偶范畴，此性质就称为模范畴的对偶性1。

模范畴等价模范畴等价(equivalence of categories of modules)是对模范畴的一种刻画，存在等价函子的模范畴称为等价的模范畴。设是模范畴，若存在加性共变函子

和

使得GF自然同构于的恒等函子，FG自然同构于的恒等函子，则称函子F与G等价，且称模范畴与是等价的，记为

此时，也称环A与B是森田纪一相似的，记为。两个模范畴C，D等价的充分必要条件是，存在全忠实函子，并且对任意，总有，使得同构于。模范畴的等价理论是模论的一个重要组成部分，森田纪一(Morita Kiiti)于1958年讨论了两个模范畴的等价和对偶，得到了一系列深刻而又漂亮的结果，森田纪一的工作是经典的阿廷-韦德伯恩定理在模上的推广，现在他的工作已发展成所谓的森田纪一理论。

森田纪一对偶定理森田纪一对偶定理(Morita theorem on duality)是模范畴对偶性的重要定理。设C和D是和的全子范畴，且，又对任意，若，则必有，这里。若和是对偶函子，则一定存在双模，使得：

1.

2.

3. C和D中每个模都是U自反模。

在一个模范畴中，不可能每一个模都是U自反模，所以模范畴的对偶只能在全子范畴之间存在1。

塞尔子范畴塞尔子范畴(Serre subcategory)是阿贝尔范畴的一种子范畴，它在同调代数等学科中有重要应用，也是定义商范畴的基础概念。设C为阿贝尔范畴，D为C的全子范畴且满足：对C中任意的正合列，当且仅当且(即，当且仅当B的子对象与商对象都是D的对象)，此时称D为C的塞尔子范畴，塞尔子范畴仍为阿贝尔范畴1。

本词条内容贡献者为:

王海侠 - 副教授 - 南京理工大学