[科普中国]-阿基米德半群

概念介绍

阿基米德半群(Archimedean semigroup)是单半群的一种推广。半群S，若对任意a，b∈S，存在n使得a∈SbS(a∈Sb，a∈bS，a∈bS∩Sb)，则称S为阿基米德的(左阿基米德的，右阿基米德的，t阿基米德的)。它是单半群(左单半群，右单半群)的推广。阿基米德半群S是单半群的幂零扩张，当且仅当S含正则元。

阿基米德半群是以古希腊著名数学家和物理学家阿基米德命名而来。2

人物简介阿基米德是古希腊物理学家和数学家。静力学和流体力学的奠基人。公元前287年生于西西里岛的叙拉古。父亲是天文学家和数学家。少年时在亚历山大里亚城学习。读书期间对力学、天文学、数学产生了浓厚的兴趣，并表现出非凡的才干。

公元前240年他作了叙拉古国王的顾问。在此期间用他学到的知识解决了大量生产实践、军事技术方面的难题。传说国王把黄金交给工匠制作王冠，王冠制成后国王疑心里面掺假，即召见阿基米德来鉴定，他冥思苦想，终于在进入澡盆洗澡时发现水面上浮，由此总结出他排开水的重量与他身体相等。这样他解决了国王的疑点，并提出确立浮力大小的著名的阿基米德定律。他还推出了杠杆原理，解决了许多生产实践问题。对这个原理他深信不疑，并声称：“假如给我一个支点，我就能推动地球”。在《论平面图形的平衡》一书中进一步确定了各种平面图形的重心。

阿基米德一生的主要兴趣和研究方向是在纯几何学方面。他推出了各种几何图形的面积、物体的表面积和体积公式。他自己认为发现圆柱体容积和它的内接球体的容积的比例是他平生最大的成就。他创立的“穷竭法”是现代微积分的先导。

他一生曾有许多发明用于生产实践。为解决尼罗河水灌溉问题，他发明了“阿基米德螺旋”，即圆筒状螺旋扬水器。他设计的杠杆加滑轮装置用很小的力将大船拉到水里。他发明的作战器械把罗马入侵者阻止于叙拉古城外达三年之久。他还曾让许多士兵手执凹面镜会聚阳光烧毁了罗马军队的木制战舰。

公元前212年叙拉古城失陷。正在聚精会神地研究几何图形的阿基米德不幸被一罗马士兵杀死。直到公元前75年他的坟墓才被当时担任西西里财政官的西塞罗发现。并虔诚地做了修缮。多年后罗马人在他的墓地建造了圆球内切于圆柱体的艺术造型，纪念他一生对几何学的杰出贡献。

公元1670年，牛津出版了《阿基米德遗著全集》，收集了他一生的全部著作。3

群设G是一个非空集合，G上有一个叫做乘法的代数运算，即有一个G×G到G的映射，对a，b∈G，(a，b) 在这个映射之下的象记作ab，如果以下条件被满足，则称G是一个群： (1) 对于任意的a，b，c∈G，(ab)c=a(bc)。(2)对任意的a，b∈G，方程ax=b，ya=b在G中有解。设G是一个群，存在唯一的元素e∈G使得对任意的a∈G，ea=ae=a，e称为G的单位元。对任何a∈G，存在唯一的元素a∈G，使得aa=aa=e，a称为a的逆元。一个群的元素个数如果是有限的，则称这个群是有限群，否则，这个群称为无限群。有限群的元素个数称为这个群的阶。对于群G的元素a，使得a=e的最小正整数m称为a的阶，这里a表示m个a相乘的积，如果不存在这样的正整数m，则称a是无限阶的。

设G1，G2是两个群，是G1到G2的一个映射，如果对任意的a，b ∈ G，(ab)=φ(a)φ(b)，则称φ是群G1到G2的同态。群G1到G2的同态φ如果是单射(满射)，则称φ是单同态(满同态)，如果φ还是个一一映射，则称是一个同构，而且称群G1与G2是同构的，记作G1≌G2。如果一个非空集合A到自身的一些一一映射在映射的复合运算下作成一个群，这种群称为变换群。凯莱定理指出，每个群都与一个变换群同构。有限集合到自身的一一映射称为置换，n个元素的集合的全体置换做成的群称为n次对称群，记作Sn。设G是一个群，a∈G，规定对于正整数m，(a-1)=a，a=e，则对任何整数n，a有意义。设G是一个群，如果存在a∈G，使得G={a|n为整数}，则称G为循环群，记作G=(a)，a称为G的一个生成元。设G=(a)，如果a的阶无限，则G与全体整数在加法运算之下做成的群同构。如果a的阶为正整数n，则G与模n的剩余类在加法运算之下做成的群同构。设G是一个群，H是G的子集，如果H对于G的运算也做成一个群，则称H是G的一个子群。设H是群G的一个子群，对任意的a∈G，定义aH={ah|h∈H}，Ha={ha|h∈H}，aH和Ha分别称为子群H的一个左陪集和右陪集。若G是有限群，则H的左、右陪集的个数都等于|G|/|H|。从而有限群G中每个元素的阶都是G的阶的因子。设H是群G的子群，如果对任意的a∈G，aH=Ha，则称H是G的正规子群，或不变子群。设H是G的一个正规子群，H的左陪集全体记作G/H，对任意的aH，bH ∈ G/H，定义 (aH) (bH) = (ab) H，则G/H也做成一个群，这个群称为G的一个商群，映射π： G→G/H，a→aH，是一个满同态。设φ是群G1到群G2的同态，Kerφ= {a∈G1|φ(a)=e}称为φ的核。φ(G1)={φ(a)|a∈G1} 称为的象，Ker是G1的正规子群，(G1)是G2的子群，并且(G1)≌G1/Kerφ。

半群半群是最简单、最自然的一类代数系统。一个非空集合S连同定义在它上面的一个结合的(即满足结合律的)二元运算“·”的代数系统(S，·)称为一个半群。半群(S，·)简记为S。

半群是群的推广。群自然是半群；反之显然未必。半群也是环的推广。环在只考虑它的乘法运算的时候是一个半群，称为环的乘半群；但任何一个带零半群却未必是某个环的乘半群。半群代数理论的系统研究始于20世纪50年代(虽然，这方面的工作可追溯到1904年苏士凯维奇(Suschkwitz，A.K.)关于有限半群的论文)。在数学内部和外部的巨大推动下，半群理论已成为代数学的一个公认的分支学科，并早已以其特有的方法独立于群论和环论之外.在20世纪60年代，苏联和美国率先出版了两本专著，利雅平(Ляпин，E.C.)的《半群》和克利福德(Clifford，A.H.)与普雷斯顿(Preston，G.B.)的两卷《半群代数理论》，这对半群代数理论的发展，在国际上起了巨大的推动作用。由德国斯普林格出版社出版的《半群论坛》更是有关半群理论的一个重要的国际性专门刊物。许多数学家在世界各地开展半群理论的研究和各层次高级人才的培养(直到博士后)。半群代数理论是半群理论中最基本、最活跃、也最富成果的一部分。此外，尚有半群的分析、拓扑和序理论。4

单群单群是一类重要的群。即不含非平凡正规子群的群。若群G≠{e}，且除{e}及G本身外不再含其他的正规子群，则称G为单群。若此时G还是有限群，则称G为有限单群。有限单群的例子有：素数阶群，交错群An，n≥5。有限单群的研究是有限群论中一个十分活跃的领域。

单半群单半群是一类似于单群的半群。不含零的半群S，若不含任何真理想，则称S为单的。不含零的半群S，若不含任何真左(右)理想，则称S为左(右)单的。含零的半群，若{0}和S本身是它的仅有的理想，且S≠{0}，则称S为零-单的。

半单群半单群是一类特殊的群。没有异于1的交换正规子群的有限群。设G是有限群，若G是拟单群的中心积或G=1，则称G为半单群。例如，有限非交换单群的直积为半单群。有限群G具有一个惟一的极大正规半单子群，称为G的层，记为L(G)。5