[科普中国]-区域不变性定理

简介

设X是拓扑空间，M包含于X，h是从x到X的同胚。易证，如果x是M的内点，则h(x)仍为h(M)的内点，如果x是M的边界点，则h(x)仍为h(M)的边界点。但是，如果h只在M上定义，则边界点或内点未必是不变的。例如，设X是E3空间中由平面(x1，x2，0)及x3轴组成，M是X中由x3轴组成的子集。h是一从x3轴到x1轴的同胚映射，则点(0，0，1)是M的一个内点，但它的象h(0，0，1)不再是h(M)的内点，因为，在X中不存在包含点h(0，0，1)而完全含于h(M)的开集。然而，对于欧氏空间来说，不会发生这种情形，内点的同胚象必仍为内点，边界点的同胚象必仍为边界点。这个定理，就是区域不变性定理。1

区域不变性定理的简化证明定义欧氏空间En的方体 为

则下列两引理成立

引理A对于 的内点x，不论点x的邻域V(x)如何小，存在从 到 的连续映射：

不能连续地扩张到 。

引理B对于 的边界点x，存在点x的小邻域V(x)，不论从 到 的连续映射如何，均能连续地扩张到 。

为了证明引理A，用反证法。假设相反，x是 的内点，取闭包含于二 的球邻域为V(x)，取f为以x为投影中心从 到 (与 同胚)的中心投射。显然，f使 的点不动。如果存在f的连续扩张 ，则 仍使 的点不动。

考虑连续映射F，:

则常值映射F1(x)与恒等映射Fo(x)同伦，然而这是不可能的。下面我们来证明常值映射F1(x)与恒等映射Fo(x)不能同伦。为了方便起见，假设Ft是定义在 球面之上的。

设 是欧氏空间En的两个点，则En的所有满足下列条件的点 ：

的集合记为(a,b)，称为以a，b为端点的线段。欧氏空间En的子集合M称为凸的，当且仅当a∈M，b∈M蕴涵(a,b)cM。

为了证明引理B，设x是 的任一个边界点，取以x为中心不完全包含 的球邻域V。设f是从 到 的任一个连续映射。由于x是边界点，必存在一属于V而不属于 的点q，以q为中心将 向Vb投射，以二记此中心投影，显然二是连续映射。考虑连续映射F：

于是F(P)是一从 到 的连续映射，而且F是f的连续扩张。

由于x是M的内点，故必存在一以x为内点完全含于M中的小方体。如果h(x)不是11(M)的内点，则h(x)更不是h()的内点，因而是h()的边界点。由引理B，存在h(x)的开邻域V，满足引理B的条件。又因h为同胚映射，故对于h(x)的开邻域V，存在x的开邻域Wc，使。由引理A，存在从到的连续映射f，不能连续扩张到。然而，另一方面，将引理B运用于h()的边界点h(x)及开邻域V，考虑连续映射fh-1，对于的任一点y，。可知fh-1能连续地扩张到h(r)，因此，f也能连续地扩张到。得出矛盾。所以，h(x)不能是h(M)的边界点。证完。2