[科普中国]-局部可解群

概念

局部可解群(locally soluble group)是最重要的广义可解群之一。若群G的每一有限子集都包含在G的某一可解子群中，则称G为局部可解群。虽然，局部可解群是最自然的广义可解群，但是，由于在局部可解群中没有类似于局部幂零群的希尔施-普洛特金定理，所以人们对这类群的结构了解甚少。已知的一些结果基于下列定理：局部可解群的主因子是阿贝尔群。2

群群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。

设G为一个非空集合，a、b、c为它的任意元素。如果对G所定义的一种代数运算“·”(称为“乘法”，运算结果称为“乘积”)满足：

(1)封闭性，a·b∈G;

(2)结合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)对G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，则称G对于所定义的运算“·”构成一个群。例如，所有不等于零的实数，关于通常的乘法构成一个群;时针转动(关于模12加法)，构成一个群。

满足交换律的群，称为交换群。

群是数学最重要的概念之一，已渗透到现代数学的所有分支及其他学科中。凡是涉及对称，就存在群。例如，可以用研究图形在变换群下保持不变的性质，来定义各种几何学，即利用变换群对几何学进行分类。可以说，不了解群，就不可能理解现代数学。

1770年，拉格朗日在讨论代数方程根之间的置换时，首先引入群的概念，而它的名称，是伽罗华在1830年首先提出的。

可解群可解群是一种重要的群类。即可由交换群经有限步叠加而得的群。若群G有一个有限长的正规群列G≥G1≥G2≥…≥Gn=1，使得每个商因子都是交换群，则称G是一个可解群，或称G是可解的。可解群的概念源自伽罗瓦(Galois，E.)对解代数方程的研究，他发现由一个代数方程的所有解可产生一个置换群(也就是扩域的自同构群，称之为一个伽罗瓦群)，这个代数方程能用根式解出当且仅当该群具有正规列.可解群的名称由此而来。霍尔(Hall，P.)于20世纪30—40年代对有限可解群理论做了奠基性贡献。费特-汤普森奇阶定理成为另一个里程碑。近几十年，有限可解群研究仍属活跃领域。例如群系等群类理论就始于有限可解群研究并以可解群为重点。对无限可解群的研究也有了长足的进步。尽管有限可解群的研究方法与成果不能完全推到无限可解群，但带交换商因子的正规列这一定义条件使很多思想与工具，如模论、表示论等，均可发挥出色的作用。3

对偶概念——广义可解群广义可解群是无限群论的重要研究对象之一，泛指满足某些群论性质的群，这些群论性质在有限群中等价于群的可解性。由于在一般的广义可解群中很难得到一些非平凡的结果，所以在研究广义可解群时常常附加一些有限性条件。局部可解群以及若干种由广义序列定义的广义可解群是常见的广义可解群。

研究科目——无限群论

无限群论是群论的一个独立分支。主要研究无限群(元素个数无限的群)的理论。19世纪末，由于几何和拓扑研究的需要，无限群作为由一系列生成元及定义关系所定义的群出现。克莱因(Klein，C.F.)、李(Lie，M.S.)等对无限群的产生有很大的影响。20世纪20年代和30年代，贝尔(Baer，R.)、施米特(Щмирт，О.Ю.)和库洛什(Курош，А.Г.)等对无限群的发展起了重要作用。不假定群阶有限性而叙述群论基础的第一本书是1916年出版的施米特的《抽象群论》。由于各国群论工作者，特别是德国、英国和苏联的群论专家的努力，使无限群论日趋完善，到20世纪40年代已经形成独立的理论体系，成为群论的一个新分支，其中最精彩的理论是霍尔(Hall，P)和马尔采夫(Малцев，А.И.)关于无限可解群的工作。1940年出版的库洛什的名著《群论》对无限群论的发展起了重要作用，特别是1955年出版的这本书第二版的英译本。鲁宾孙(Robinson，D.J.S.)于1972年出版的《有限性条件和广义可解群》是继库洛什的《群论》之后最重要的无限群著作之一。

无限群论的大量工作是将有限群的许多好的结果推广到无限群中去。这样，一方面就导致比群阶的有限性弱的一些有限性条件;另一方面引入了一些在有限群中是等价的但在无限群中却不同的性质，由此产生了许多种类的广义可解群和广义幂零群.正如库洛什指出“……一个新的群论分支……它的任务是在某种意义上接近群阶的有限性的条件限制下，研究在某种意义上接近阿贝尔群的群”。所以，无限群论的主要研究对象是广义幂零群、广义可解群和满足所谓有限性条件的群。目前，无限群论仍然是一个比较活跃的数学分支。4

阿贝尔群阿贝尔群亦称交换群。一种重要的群类。对于群G中任意二元a，b，一般地，ab≠ba。若群G的运算满足交换律，即对任意的a，b∈G都有ab=ba，则称G为阿贝尔群。由于阿贝尔(Abel，N.H.)首先研究了交换群，所以通常称这类群为阿贝尔群。交换群的运算常用加法来表示，此时群的单位元用0(零元)表示，a的逆元记为-a(称为a的负元).用加法表示的交换群称为加法群或加群。