[科普中国]-舒尔指数

舒尔指数(Schur index)是指与有限中心单代数相似的可除代数的次数。对域F上有限维中心单代数A，从同构意义上来说存在惟一中心可除代数D和某自然数n，使得。将相应于A的可除代数D的次数称为A的舒尔指数，记为。舒尔指数也可对任意可分代数定义，特别地，有限维半单代数，若对每个单代数的舒尔指数定义为作为它中心上代数的舒尔指数，则就称为A的舒尔指数1。

设为在上的舒尔指数，并记为。

定理1设的有限域，则总有，换句话说对应于指标的绝对不可约表示总可以在上实现。

定理2 设为的一个绝对不可约表示，其指标为。

a) 若可以在的某扩域上实现，并且，则舒尔指数是的因子。

b) 存在的一个扩域，使，而且可在上实现。

c) 在上可实现当且仅当是k的因子。

d) 是的因子。

定理3设为不可约-模，为的分裂域而为在上的表示的绝对不可约分量，那么，是完全可约的，它的绝对不可约分量就是全体在K与D共轭的表示，而且每一个等价类都以相同的重数s出现，若为D的指标，则s等于在上的舒尔指数，若为的指标，则

其中取遍在K上的伽罗华群的元素。

定理4设，而为在的某扩域上的绝对不可约指标。

a) 恰有一个在上的不可约指标，使，这里，此处H为在上的伽罗华群。

b) 若为在上的指标，则总能被舒尔指数整除2。

舒尔(Schur，Issai，1875.1.10-1941.1.10)是德国数学家。生于俄国莫吉廖夫，卒于巴勒斯坦特拉维夫(现属以色列)。曾在柏林大学读过书。1911年执教于波恩，1919年任柏林大学数学教授。1935年受纳粹当局迫害离职，1939年移居巴勒斯坦。舒尔是当时德国最优秀的犹太数学家之一，他追随其师弗罗贝尼乌斯研究群的表示理论，以发现“舒尔函数”和证明“舒尔定理”而著称。他第一个通过线性函数变换来研究所谓“表示”，并首先在代数数域问题上使用了“舒尔指数”，还重建了群的特征理论(1905年)。此外，他对群论、矩阵理论、代数方程论、数论、级数理论、积分方程和函数论等领域均有论述。舒尔的研究工作对现代数学的发展有很大影响。1973年，德国著名的施普林格出版社出版了他的论文集。