舒尔指数(Schur index)是指与有限中心单代数相似的可除代数的次数。对域F上有限维中心单代数A,从同构意义上来说存在惟一中心可除代数D和某自然数n,使得。将相应于A的可除代数D的次数
称为A的舒尔指数,记为
。舒尔指数也可对任意可分代数定义,特别地,有限维半单代数
,若对每个单代数
的舒尔指数定义为
作为它中心上代数的舒尔指数
,则
就称为A的舒尔指数1。
设为
在
上的舒尔指数,并记为
。
定理1设的有限域,则总有
,换句话说对应于指标
的绝对不可约表示总可以在
上实现。
定理2 设为
的一个绝对不可约表示,其指标为
。
a) 若可以在
的某扩域
上实现,并且
,则舒尔指数
是
的因子。
b) 存在的一个扩域
,使
,而且
可在
上实现。
c) 在
上可实现当且仅当
是k的因子。
d) 是
的因子。
定理3设为不可约
-模,
为
的分裂域而
为
在
上的表示
的绝对不可约分量,那么,
是完全可约的,它的绝对不可约分量就是全体在K与D共轭的表示
,而且每一个等价类都以相同的重数s出现,若
为D的指标,则s等于
在
上的舒尔指数
,若
为
的指标,则
其中
取遍
在K上的伽罗华群
的元素。
定理4设,而
为
在
的某扩域
上的绝对不可约指标。
a) 恰有一个在
上的不可约指标
,使
,这里
,此处H为
在
上的伽罗华群。
b) 若为
在
上的指标,则
总能被舒尔指数整除2。
舒尔(Schur,Issai,1875.1.10-1941.1.10)是德国数学家。生于俄国莫吉廖夫,卒于巴勒斯坦特拉维夫(现属以色列)。曾在柏林大学读过书。1911年执教于波恩,1919年任柏林大学数学教授。1935年受纳粹当局迫害离职,1939年移居巴勒斯坦。舒尔是当时德国最优秀的犹太数学家之一,他追随其师弗罗贝尼乌斯研究群的表示理论,以发现“舒尔函数”和证明“舒尔定理”而著称。他第一个通过线性函数变换来研究所谓“表示”,并首先在代数数域问题上使用了“舒尔指数”,还重建了群的特征理论(1905年)。此外,他对群论、矩阵理论、代数方程论、数论、级数理论、积分方程和函数论等领域均有论述。舒尔的研究工作对现代数学的发展有很大影响。1973年,德国著名的施普林格出版社出版了他的论文集。