[科普中国]-替换定理

简介

设线性无关的向量组

可由向量组

线性表示,则m簇t，并且可从 中选出t一m个向量，使得向量组

与向量组(2)等价。

上述定理通常称为替换定理。

证明方法一设向量组(2)的极大无关组为

显然r≤t，由于(1)可由(2)线性表示，故(4)也是

的一个极大无关组，又因

线性无关，故m≤r，又r≤t，从而m≤t。

因(5)的秩为r，显然m≤r，适当选择 可把(1)扩充为(5)的一个极大无关组。

由于(4)，(7)均为(5)的极大无关组，故(4)与(7)等价，故(7)是(2)的极大无关组，从(2)中

之外选取 ，可得向量组

显然，（8）和（2）等价。

方法二由题设 ，得

若m>t，则

必有非零解 ，(未知量个数大于方程个数，故也)。从而有 ，即 线性相关，这与题设矛盾，因此m≤t。

下证第二部分，设向量组(2)的秩为r，不防设 是(2)的极大无关组，则

由上述证明可知必有m≤t，由于 线性无关，故由(4)中 的系数组成的矩阵 的秩必为m，故它一定存在一个m阶子式不为0，不防设它的前m列构成的m阶子式不为0，由此易知 可由 线性表示，故 与 等价，又因为是(2)的极大无关组，因此与等价。12