[科普中国]-混合张量代数

概念介绍

混合张量代数(mixed tensor algebra)是张量代数的推广。设E*，E是域K上的对偶空间，若：2

约定：

则x∈(E*，E)称为(E*，E)上的混合张量，p+q称为x的全次数。x也称为E*上的p阶反变，q阶共变张量，或称为E上的p阶共变，q阶反变张量。若p=0，则称x为E*上的q阶共变张量或E上的q阶反变张量；若q=0，x则称为E*上的p阶反变张量，或E上的p阶共变张量。若：

对任意u*j∈E*，uj∈E，定义：

则(E*，E)是有单位元1E1E的非可换的结合代数，称为(E*，E)对上的混合张量代数。

代数代数是数学的一个分支。传统的代数用有字符 (变量) 的表达式进行算术运算，字符代表未知数或未定数。如果不包括除法 (用整数除除外)，则每一个表达式都是一个含有理系数的多项式。例如： 1/2 xy+1/4z-3x+2/3. 一个代数方程式 (参见EQUATION)是通过使多项式等于零来表示对变量所加的条件。如果只有一个变量，那么满足这一方程式的将是一定数量的实数或复数——它的根。一个代数数是某一方程式的根。代数数的理论——伽罗瓦理论是数学中最令人满意的分支之一。建立这个理论的伽罗瓦(Evariste Galois，1811-32)在21岁时死于决斗中。他证明了不可能有解五次方程的代数公式。用他的方法也证明了用直尺和圆规不能解决某些著名的几何问题(立方加倍，三等分一个角)。多于一个变量的代数方程理论属于代数几何学，抽象代数学处理广义的数学结构，它们与算术运算有类似之处。参见，如：布尔代数(BOOLEAN ALGEBRA);群 (GRO-UPS);矩阵(MATRICES);四元数(QUA-TERNIONS );向量(VECTORS)。这些结构以公理 (见公理法 AXIOMATICMETHOD) 为特征。特别重要的是结合律和交换律。代数方法使问题的求解简化为符号表达式的操作，已渗入数学的各分支。

设K为一交换体. 把K上的向量空间E叫做K上的代数，或叫K-代数，如果赋以从E×E到E中的双线性映射.换言之，赋以集合E由如下三个给定的法则所定义的代数结构：

——记为加法的合成法则(x，y)↦x+y;

——记为乘法的第二个合成法则(x，y)↦xy;

——记为乘法的从K×E到E中的映射(α，x)↦αx，这是一个作用法则;

这三个法则满足下列条件：

a) 赋以第一个和第三个法则，E则为K上的一个向量空间;

b) 对E的元素的任意三元组(x，y，z)，有

x(y+z)=xy+xz(y+z)x=yx+zx;

c)对K的任一元素偶(α，β)及对E的任一元素偶(x，y)，有(αx)(βy)=(αβ) (xy).

设A为一非空集合. 赋予从A到K中的全体映射之集ℱ(A，K)以如下三个法则：

则ℱ(A， K)是K上的代数， 自然地被称为从A到K中的映射代数。当A=N时， 代数ℱ(A，K)叫做K的元素序列代数。

无论是在代数还是在分析中，代数结构都是最常见到的结构之一。十九世纪前半叶末，随着哈密顿四元数理论的建立，非交换代数的研究已经开始. 在十九世纪下半叶，随着M.S.李的工作，非结合代数出现了. 到二十世纪初，由于放弃实数体或复数体作为算子域的限制，代数得到了重大扩展。

与外代数，对称代数，张量代数，克利福德代数等一起，代数结构在多重线性代数中也建立了起来。3

结合代数结合代数是类似于环、域，而更接近于环的一个代数系。设A是一个结合环，若A又是域F上向量空间，且对任意元素a，b∈A，λ∈F，适合λ(ab)=(λa)b=a(λb)，则称A是F上结合代数，简称F代数。称F上向量空间A的维数为代数A的维数，记为dimA。一般地，若结合环A又是左R模，其中R是有单位元1的交换环，且对任意a∈A，λ∈R，适合：

1·a=a，λ(ab)=(λa)b=a(λb)，

则称A是R上代数.通常假定一个R代数有单位元。

结合代数研究的中心问题是刻画各类代数的结构，它是从19世纪50年代哈密顿(Hamilton，W.R.)引入实域上四元数(1843年)、格拉斯曼(Grassmann，H.G.)引入向量乘法以及凯莱(Cayley，A.)等人讨论矩阵代数开始的.到20世纪初，韦德伯恩(Wedderburn，J.H.M.)开创了有限维代数发展的新阶段，他的半单代数结构理论对代数的发展起了推动作用，使有限维代数的研究基本上归结为幂零代数与可除代数的研究，进而得出半单代数较完整的表示理论.阿尔贝特(Albert，A.A.)的《代数结构》一书(1939年)是对经典代数的很好的总结.非半单代数结构的研究则较为复杂，因此划分成一些自然的代数类并对它们进行描述就成了占主要地位的工作.克德(Ko¨the，G.)、中山正(Nakayama，T.)、浅野启三(Asano，K.)等人刻画了主理想代数、弗罗贝尼乌斯代数以及它们的推广.近年来，开始用模论的方法研究代数结构，产生了代数表示论。

由于R上代数A与环的概念仅多一个R×A到A的乘法运算，因此，子代数、单侧理想、理想、商代数、幂零和幂零理想、同构及同态等概念仅比环中相应概念多一个与R中元相乘封闭的性质，不再重复它们的定义。

张量代数设E为交换体K上的向量空间。对任一自然数偶(p，q)，存在唯一的从Tp(E)×Tq(E)到Tp+q(E)中的双线性映射Npq，使对Ep的任一元素(x1，…，xp)与Eq的任一元素(xp+1，…，xp+q)，有：

(对任一自然数n，Tn(E)表示E的n次张量幂。)

双线性映射Npq在向量空间上定义一个酉K-代数结构.这个酉代数叫做向量空间E的张量代数，记为T(E)。

这个代数是结合的；它由E=T1(E)生成。此外，对于任一结合的酉K-代数B及从E到B中的任一线性映射f，f以唯一的方式拓展成一个从酉代数T(E)到酉代数B中的同态。设F为K上的向量空间，而T(F)为F的张量代数。则对从E到F中的任一线性映射f，存在唯一的从酉代数T(E)到酉代数T(F)中拓展f的同态.这个同态叫做线性映射f的张量开拓，记为T(f)。

对偶空间对偶空间是一种特殊的线性空间。即线性空间的线性函数空间。设V是域P上的线性空间，V的所有线性函数构成的域P上的线性空间，称为V的对偶空间，记为V(即HomP(V，P))。当dim V=n，并且ε1，ε2，…，εn是V的基时，由等式εi(εj)=δij (i，j=1，2，…，n)所确定的n个线性函数ε1，ε2，…，εn是V的基，称为基ε1，ε2，…，εn的对偶基。由上知，当dim V=n有限时，dim V=dim V=n；但当dim V无限时，二者不再相等，即它们的基元素不再是一一对应的。4