[科普中国]-单位张量

定义

单位张量是合成代数的单位元。设V*，V是域K上的对偶空间，是V*与V的合成代数。对任意的a*∈V*，b∈V，定义φ：V*⊗V→(V,V)，a*⊗b⟼φ(a*⊗b)，其中φ(a*⊗b)(x)=⟨a*,x⟩⊗b是个线性映射，这样φ是个代数同态，且是单射。若dimV=n，则φ是线性同构。若u是V上的单位映射，则是合成代数V*⊗V的单位元，称为V的单位张量，如果是V*与V的一对对偶基，那么，且与对偶基的选取无关。1

合成代数[composition algebra]

一类由对偶空间的张量积所构成的代数。设V*，V是域K上的对偶空间，对任意的x，y∈V，x*，y*∈V*，定义上的乘法

该运算使得成为一个非交换的结合代数，称为V*与V的合成代数。

张量张量理论是数学的一个分支学科，在力学中有重要应用。张量这一术语起源于力学，它最初是用来表示弹性介质中各点应力状态的，后来张量理论发展称为物理学的一个有利的数学工具。

设是域K上的向量空间，则称（特别地，当所有时，记作）中的元素为张量。为了符号的方便，我们用表示K。令V*为V的对偶空间，用记，并设称中的元素为V上的p次反变q次共变张量或(p,q)型张量。

张量的内积张量的内积指由两个张量中其一张量的反变指标与另一张量的共变指标的乘积所得的收缩张量。