[科普中国]-独立代表系

独立代表系(system of independent representatives)是代表系的一种，Rado推广了相异代表系(SDR)的概念，建立了独立代表系的理论。

独立关系的概念设S是一个集，S的一个独立关系是一个关系序列 ，其中 ( 是S的n次卡氏幂集，即S的n元序列，简称n塔，即 的集)，因而 是S 上的一个n元关系，满足下面特性：

(i)若 ，则必有 ；

(ii)若 ，则必有 ，对{1，2，…，n}的任何置换 都成立。

(iii)若 ，则必存在 ，使

(iv)对于任何 ，必有 。

设 ，则 就叫做独立的。否则，就是相关的。

由定义可知，一个独立序列的子序列也是独立的。独立序列与序列的次序无关，而且，只要序列中含有相等元，则该序列就是相关的。

我们可以举出独立关系的例子。

把独立关系解析为不等关系，则上述(i)一(iv)条件满足，因为 均相异，则 必相异，满足(i)。相异关系与元的次序无关，满足(ii)。 相异，且 亦相异，则后者之中至少有一个y与 都相异，满足(iii)。因为 ，所以 ，满足(iv)。

又如，我们可以把S解析为一个向量空间，独立关系解析为向量的线性独立关系，即若向量 线性独立，则 。反之，若 线性相关，则 ，这亦满足(i)-(iv)条件。因为，若 线性无关，则 亦线性无关，满足(i)。线性无关的特征与向量的顺序无关，满足(ii)。若 ，即 线性无关，又若 ，即 亦线性无关，如果不存在 使y与 线性无关，即任一个都与相关，则 亦必线性相关，与所设矛盾，满足(iii)。最后，向量x与自身线性相关，满足(iv)。

集S的子集序列 叫做具有Hall特性(Hall条件的推广)，如果对于每个 ，子集 中的任何k塔的并集必包含 使 1。

独立代表系的概念设 是集S的子集序列， 叫做 的一个独立代表系(简称为SIR)，如果 且 。

若把独立关系解析为不等关系，则 相异，且 ，故 为子集族 的一个SDR，由此可见SIR是相异代表系(SDR)的一个推广。

下面给出子集序列存在一个SIR的充要条件。

定理(Rado) 集s的非空子集序列 有一个独立代表系(SIR)的充要条件是 具有Hall特性1。

本词条内容贡献者为:

尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学