[科普中国]-张量空间

张量空间(tensor space)是多重线性代数的重要概念，定义是有张映射的一种向量空间。多重线性代数式代数学的一个重要分支。可以将它看做是线性代数的发展。它是伴随着微分几何、现代分析、群表示论、理论物理、量子力学等学科发展起来的，并且在这些学科中已得到重要的应用。

张量空间(tensor space)是多重线性代数的重要概念，定义是有张映射的一种向量空间。具体定义有多种不同的形式。例如，可定义为：设P是一个向量空间，若存在张映射 ：V1×V2×…×Vm→P使得〈Im 〉=P，则称P为V1，V2，…，Vm的带有张映射的张量空间；或称P为V1，V2，…，Vm的张量积空间；或简称P为V1，V2，…，Vm的张量积，记为：

张量空间对于多重线性代数的重要性如同向量空间对于线性代数的重要性。张量空间的维数是：

线性代数线性代数是现代数学的重要基础之一， 主要处理线性关系问题，数学对象的关系 用一次形式表达的就是线性关系。例如， 一次代数方程ax+b=c，对于变量x来说 就是线性的。中学数学中由若干个变量的 一次代数方程联系的线性方程组求解就是 线性代数的基本问题之一。线性代数主要 研究行列式、矩阵、线性方 程组、向量空间、线性变换 和二次型等，矩阵是它的主 要工具，形成了线性代数的 核心内容。线性代数已是数 学、物理、化学、工程、电 工技术、天文、运筹等学科 必不可少的理论基础与工具。 由于线性代数的理论很成熟， 一些复杂的非线性问题也可 化为线性问题来求解，计算 机辅助分析中的有限元法就 是一个典型。有限元法把复 杂产品的应力、应变的计算、 热传导计算等，都化为庞大 的线性代数方程组来求解， 这对于有高速电子计算机的今天是容易办 到的，这使过去很难精确计算的大型工程 问题得以解决。20世纪中叶，线性代数趋 于抽象化，线性空间被视为域上的模，一 般模论尤其环上的模，在代数、几何与群 表示论中有重要应用，也是研究同调代数、 范畴论、代数拓扑的基础。1

线性代数从一般线性方程组出发，以 行列式、矩阵及其代数运算、向量及其线 性关系 (线性相关，线性无关，线性组合 等)、秩等为工具讨论了一般线性方程的四 个问题： 解存在的充分必要条件; 有解时 解的个数; 有解时求解的方法; 矛盾方程 组的判定。加减法、代入法等经高斯推广 成为著名的高斯消元法，经改进在计算机 上实现。从向量及其线性关系得到线性 (向量) 空间的概念，加入 “度量” 得到欧 几里得空间。讨论了表现空间中向量间关 系的线性变换，线性变换通过基底转化为 矩阵表示，特别值得重视的是线性变换或 矩阵的特征值与特征向量。

矩阵的初等变换 (与线性方程组紧密 联系)，矩阵的标准形 (如对角形，若当标准形，有理标准形等)，矩阵的分解 (如上下三角形分解，可勒斯基分解等)，特殊矩阵 (如正交阵与酉阵——相当于空间的直角坐标变换、对称阵与额尔米特阵——与 二次型紧密联系、反对称阵、稀疏矩阵、 非负元素矩阵或称斯玛哈斯提阵——应用 于概率论中马尔可夫链、力学中弹性振动的颤动性质) 等，组成线性代数的基本内 容。现在还包括研究矩阵的微分与积分运 算，矩阵函数，多重线性映射和张量。

因子化泛性质因子化泛性质是一种特殊的多重线性映射所具有的重要性质。这个性质能把一般的多重线性映射转换为线性映射来研究。即一个多重线性映射：φ： V1×V2×…×Vm→P；称为具有因子化泛性质，是指对于任意的多重线性映射：ψ： V1×V2×…×Vm→W(W也任意)，总存在线性映射T∈L(P，W)，使得ψ=Tφ。这个性质常用上面的可换图来表示。多重线性映射φ：Vi→P具有因子化泛性质，等价于(对于有限维空间)多重线性映射φ满足：

dim〈Im φ〉= dim Vi.

张映射多重线性代数的重要概念。具有因子化泛性质的多重线性映射。也可等价地(对于有限维空间)定义为：设 ：V1×V2×…×Vm→P是多重线性映射，若：2

则称 是关于V1，V2，…，Vm的张映射。张映射是构成张量空间的基本要素。

多重线性代数代数学的一个重要分支。可以将它看做是线性代数的发展。它是伴随着微分几何、现代分析、群表示论、理论物理、量子力学等学科发展起来的，并且在这些学科中已得到重要的应用。

多重线性代数形成为一个学科还是近几十年来的事，值得提出的是20世纪50年代，布尔巴基(Bourbaki，N.)论述多重线性代数的书及20世纪60年代，葛瑞布(Greub，W.)的多重线性代数专著(第一版)，特别是从1973年，由马库斯(Marcus，M.)和汤普森(Thompson，R.C.)创办了国际性的《线性和多重线性代数》(Linear and Multilinear Algebra)杂志以及同年马库斯出版了经典性著作《有限维多重线性代数》以来，多重线性代数的发展进入了一个活跃的新阶段，这当中以梅里斯(Merris，R.)等人研究高阶特征标的张量对称类所获得的成果最为突出。

多重线性代数研究的内容包括：多重线性映射、具有一定对称性质的多重线性映射、张量空间、张量对称类、张量代数、对称张量代数、格拉斯曼代数、外代数、克利福德代数及其表示理论等。这里的前半部分只就常用的有限维多重线性代数来叙述，对于以泛性质手段处理的无限维情形可参看葛瑞布(Greub，W.H.)于1978年著的《多重线性代数》(第二版)。对可换环上建立在环模上的多重线性代数则可参看诺茨考特(Northcott，D.G.)于1984年著的《多重线性代数》。

多重线性代数这部分词条的向量空间一般是指一个特征为零的域K上的(向量)空间，但当关系到内积和群的任意特征标时，为了叙述简明则只在复数域C上讨论.域上的多重线性代数的主要概念与结果都可用模论的工具推广到交换环上的多重线性代数，这里不再一一提及。交换环上的多重线性代数在模论、同调代数、代数K理论、代数几何等学科中都有重要应用。

向量空间设K为交换体。称赋以由下列两个给定法则所定义的代数结构的集合E为K上的向量空间：

——记为加法的合成法则，

——记为乘法的作用法则，即从K×E到E中的映射，

这两个法则满足下列条件：

a)赋以加法的集合E是交换群;

b) 对K的任一元素偶(α，β)，以及对E的任一元素x，α(βx)=(αβ)x;

c) 对E的任一向量x，1x=x，其中1表示体K的单位元素;

d)对K的任一元素偶(α，β)，以及对E的任一元素偶(x，y)，

(α+β)x=αx+βx

α(x+y)=αx+αy.

当体K不再假定为交换的时，满足上述条件的集合E称为K上的左向量空间。

如果条件α(βx)=(αβ)x换为α(βx)=(βα)x，则称E为K上的右向量空间。3

本词条内容贡献者为:

王沛 - 副教授、副研究员 - 中国科学院工程热物理研究所