[科普中国]-退化多面体

退化多面体，是一类特殊的多面体。在数学中，退化的情况是一种极限情况，其中一类对象的一个元素在质量上与其余的类不同，因此属于另一个通常较简单的类。许多复合或结构化对象的定义包括（通常是隐含的）不等式。例如，三角形的角度和边长应该是正的。这些不平等中的一个或几个变成平等的极限情况是退化。在三角形的情况下，如果至少一边长度或角度为零，则具有退化三角形。

简介退化多面体(degenerate polytope)一类特殊的多面体。即这样的多面体，有基础可行解且至少包含一个属于基的分量为零，或者说，由这个基础确定的极点有一个坐标值为0。

常见的退化多面体由于三维空间中的单纯形是四面体，面数少于4的多面体都只能成为退化多面体，因此三面体都不能真正具有体积。在球面镶嵌中，常见的三面体是三面形。亦有一种正抽象多面体是三面体，其为半立方体。

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三面形

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尽管面为平面的三面体在三维空间不能存在，但在球面几何学中，三面体可以以球面镶嵌的方式存在，最简单的例子是三面形。一个正三面形，表示三个镶嵌在球体上的球弓形，施莱夫利符号中利用{2,3}来表示，其对偶多面体是三角形二面体。

性质

三面形是一个退化的多面体，其无法拥有体积。三面形由3个二角形组成，每个顶点都是3个二角形的公共顶点。正三面形的每个面都是正二角形，且每个顶点都是3个正二角形的公共顶点，因此正三面形也可以视为一种正多面体，但是因为其已退化，因此不会与柏拉图立体一同讨论。

三面形具有 D3h, [2,3], (*223) 的对称性和 D3, [2,3]的旋转对称性，且阶数为12，在考克斯特符号中用表示1。

圆柱主条目：圆柱

圆柱也能算是一种非严格的三面体，因为它可以看做是只有三个面的几何体，由一曲面（侧面）和两个圆形平面（底面）所组成2。

三胞体三胞体是指有三个胞或维面的多胞体。其为三面体在四维或更高维度的类比，但由于四维空间的单纯形是五胞体，任何面数边树或顶点数小于单纯形的图形都只能退化或成为球面镶嵌，即无法具有非零的体积3。

本词条内容贡献者为:

孙和军 - 副教授 - 南京理工大学