[科普中国]-命题代数

概念介绍

命题代数(propositional algebra)一种特殊的布尔代数。设W是某一语言中所有命题构成的集合，且设T与F分别为真、假命题，∨，∧，分别为命题的析取，合取，否定联结词，则布尔代数〈W，∨，∧，，T，F〉就是命题代数。

命题的集合P，对命题联接词⇁，∨，∧构成的代数结构.就是(P，⇁，∨，∧)。

命题代数具有熟知的运算性质，即命题演算(命题逻辑)的基本算律。1

布尔代数又称“逻辑代数”，是英国数学家、逻辑学家布尔(George Boole)1815—1864所创立的一个代数系统。布尔认为，逻辑关系和某些数学运算甚为类似，代数系统可以有不同的解释，把解释推广到逻辑领域，就可以构成一种思维的演算。他在其著作《逻辑的数学分析》(1847年)及《思维规律》(1854年)中引进了逻辑代数的基本概念，构成了一个抽象代数系统。用这种系统可以较容易地处理传统逻辑所不能处理的逻辑问题。布尔对他的代数系统给出了四种解释：一种是类的演算，两种是命题的演算，一种是概率演算。

经过后来数学家的进一步改进，布尔代数成为如下的一个数学系统：设B是一个至少有两个元素的集合，其中定义两种运算：+ (逻辑加法)， *(逻辑乘法)，B中元素对于这两种运算，如果满足下面公理：对任意的x，y，z∈B。

**公理1：**x+y=y+x; x*y=y * x;

公理2： x * (y+z)=(x * y) + (x * z);

x+ (y * z)=(x+y) * (x+z);

公理3： B中有元素0和1满足：

x+0=x;x *1=x;

**公理4：**对任意x∈B，有x′∈B，使

x+x′ =1;x * x′ =0;

则称B为一个布尔代数。

例如，令B={0，1}，让1表示真命题，0表示假命题，定义+运算如下：

0+0=0;0+1=1;1+0=1;1+1=1;

定义*运算如下

0 * 0=0;0 * 1=0;1 * 0=0;1 * 1=1;

则它表示的就是一个命题代数的系统。由于有1+1=1，它不同于一般的代数系统。

在布尔代数的基础上，人们又发展了开关代数。

开关代数在组合电路、电路网络中有极大的应用价值。2

布尔简介布尔是英国著名的数学家、逻辑学家。其主要著作有《关于分析中的一个普遍方法》(1844)、《逻辑的数学分析：论一种演绎推理的演算法》(1847)、《思维规律、逻辑与概率的数学理论》(1854)。布尔对建立数理逻辑有重要贡献，由于他应用代数方法研究命题、推理等思维形式及其规律，创立了逻辑代数(亦称布尔代数)。因此，使得逻辑演算方法，在逻辑史上第一次以现代形态显示出来。布尔被认为是数理逻辑的奠基人之一。

布尔受莱布尼茨、哈密顿、德摩根等关于逻辑与数学相类似的观点影响，采用外延的方法研究形式逻辑思想的传播。他的指导思想是：逻辑关系与某些数学运算相似，代数系统可能有多种解释，把解释推广到逻辑领域，就能构成一种思维形式的演算方法。演绎分析的有效性不依赖于所使用的符号的解释而依赖于符号的组合律。由此，布尔建立了两种代数：类的代数和命题代数。他在构造逻辑的代数演算时，使用了三种符号：①文字符号，如X，Y等代表作为我们概念的主项的事物;②运算符号，如+、-、×等代表思维的运算，借这些运算，事物的概念被结合、分解，以形成新的概念;③表示同一关系的符号，如“=”。运用这些符号形成一种形式推理法(逻辑演算)。布尔提出七个初始公式作为演算的出发点，规定了进行形式演算的程序、方法和规则。这种演算被他称作符号推理，演算方法的规则称作符号推理规则，在他的《思维规律》一书中详细探讨了这些原则。

布尔对其构造的逻辑系统给出了四种解释：一种是类的演算，有两种命题演算，还有一种概率演算。他的逻辑代数的成果极大地推动了现代逻辑的发展。如布尔的方法可以化归于一种经验的法则(相加、相乘等)，允许机械处置，因此耶芳斯于1869年根据布尔演算方法，首先成功制出一架逻辑计算机。但是布尔代数作为一种逻辑演算方法尚不成熟，存在一定的局限性，如布尔分析的命题囿于主谓式结构，而未涉及其他类型的命题等。

性质序理论简称偏序理论。满足偏序关系的形式系统。设语言L={≤}，其中≤是二元关系符号，由下列非逻辑公理：

Φ1：ᗄx(x≤x);

Φ2：ᗄxᗄyᗄz(x≤y∧y≤z→x≤z);

Φ3：ᗄxᗄy(x≤y∧y≤x→x≡y)

为出发点所构成的形式系统，称为形式化偏序理论。

对偶原理射影几何学的基本理论之一。对偶是关联关系的一种，在射影几何中，直线与点在逻辑上处于平等地位，因此被称为平面上的对偶元素。将平面上一个以点和直线构成的图形中的点和直线对换，得到另一个图形，叫做所给图形的对偶。在射影几何中，如果一个命题成立，则它的对偶命题也成立，称之为对偶原理。最早论及对偶原理的是法国数学家庞斯列，1822年他在《论图形的射影性质》中提出“互反极法则”，给出从极点到极线和从极线到极点的变换的一般表述。两年后他又完成《论配极的一般理论》(1829年发表)，进一步应用了这一方法，促进了对偶原理的建立。同时期的另一位数学家热尔岗于1825—1826年提出“对偶”概念，将对偶原理扩充到除涉及度量性质外普遍适用的原理。他研究了射影几何的先驱德扎格提出的定理：如果两个三角形对应顶点的连线共点，则它们对应边的交点共线。由此他给出其对偶原理：如果两个三角形对应边的交点共线，则它们对应顶点的连线共点。原定理的逆定理，被称为自对偶定理。热尔岗发明了把对偶的定理写成两栏的格式，把对偶的命题并排写在原命题的旁边。1832年瑞士数学家施泰纳在《几何图形相互依赖性的系统发展》中将圆锥曲线的定义对偶化，通过把图形分类和注重对偶命题而系统地发展了射影几何学。第一个建立对偶原理逻辑基础的是德国数学家普吕克，他在《解析几何的发展》第2卷(1831)中利用线坐标给出对偶原理的代数表述和证明。后来对偶原理推广到三维空间，点和面是对偶元素，直线是自对偶元素。3

同构和同态同构

两个数学系统(例如两个代数系统)，当它们的元素及各自所定义的运算一一对应，并且运算结果也保持一一对应，则称这两个系统同构，记为≌。它们对于所定义的运算，具有相同的结构。例如，十进制数与二进制数是同构的。

建立同构关系的映射，称为同构映射。例如，当映射为一一映射，并且对应元素关于运算保持对应时，就是同构映射。

同构是数学中最重要的概念之一。在很多情况，一个难题往往可以化成另一个同构的、似乎与它不相关的、已经解决的问题，从而使原问题方便地得到解决。虽然数学发展得越来越复杂，但利用同构概念，不仅使数学得到简化，而且使数学变得越来越统一。表面上似乎不同，但本质上等价的结果，可以用统一的形式表达出来。例如，如果四色定理得到了证明，其他数学分支中与它同构的几十个假设，也同时得到了证明。

同态

设E与F为两个群胚，它们的合成法则分别记为⊥与⊤. 称从E到F中的映射f是群胚同态，如果对于E的任一元素偶(x，y)，有：

设E与F为两个幺半群(两个群)，称从E到F中的映射.f是幺半群(群)的同态，如果f是群胚的同态，且E的中性元素的象是F的中性元素. (在群的情况下，后一个条件是自然满足的，但是从加法幺半群N到乘法幺半群N的映射x↦0是群胚的同态， 而并不因此就是幺半群的同态).

设G为乘法群，而a为G的元素. 由关系f(n)=an所定义的从加法群Z到G中的映射f是群的同态.

设A与B为两个环(两个体)，称从A到B中的映射f是环(体)的同态，如果f是加法群的同态，且为乘法么半群的同态. 这就是说，对A的任一元素偶(x，y)，有：

f(x+y)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)f(y)，

并且f将A的单位元变成B的单位元.

例如，设n为非零自然数;使任一有理整数对应其对模n的剩余类映射是从环Z到环Z/nZ上的同态.设E与F为两个A-代数(两个酉A-代数). 称从E到F中的映射f是A-代数(酉A-代数)的同态，如果它是线性映射，并且是乘法群胚(乘法幺半群)的同态.

例如，设E为交换体K上的非零有限n维向量空间，而B为E的基. 则从E的全体自同态之酉代数ℒ(E)到K中元素构成的全体n阶方阵之酉代数Mn (K)中的映射，如果该映射使E的任一自同态对应它在基B中的矩阵，则这一映射是酉代数的同态.

同态的概念能用抽象的方式加以推广。4