[科普中国]-逆关系

定义

设R是集合A上的关系，称集合 是R的逆关系，记作 ，符号 称为关系的求逆运算符。

例如实数集合上的“大于等于”关系和“小于等于”关系。整数集合上的“整除”关系和“被整除”关系，幂集合上的“包含”关系和“被包含”关系，均互为逆关系，有些关系的逆关系是它自己。例如整数集合上的模k同余关系和幂集上集合的补关系的逆关系是它自己2。

相关定理定理1若R是集合A上的关系，则 。2

**证明：**仅需证明：对于任意 ,有 ，

若 ,则；

因此；

因此；

所以；

若，则；

因此；

因此；

所以；

综上，。

定理2若集合 , 都是集合A上的关系，则有

(1)

(2)

(3)

(4)

(5) 2

仅需证明：对于任意，成立。

根据关系代数和布尔矩阵代数的同构性质，有

因此可得

例题解析设集合，R和S均为A上的二元关系，且,,且，，可见