[科普中国]-逐项微分

逐项微分(term by term differentiation)是微积分术语，即函数列(级数)各项先求导数后求极限与极限(和)的导数相等，对函数列(级数)的每一项求导数，使所得到的序列(级数)收敛于原序列(级数)的极限(和)的导数。

基本介绍逐项微分是微积分术语，即函数列(级数)各项先求导数后求极限与极限(和)的导数相等，对函数列(级数)的每一项求导数，使所得到的序列(级数)收敛于原序列(级数)的极限(和)的导数，即

逐项微分有如下定理：若在区间上一致收敛，且在的某个点收敛，则在上一致收敛且可逐项微分，当换成开集或任意区间时，第一个条件可换成在的任何闭子区间上一致收敛。特别地，幂级数在其收敛区间上可逐项微分任意次，并且每次得到的级数的收敛半径均相等1。

富比尼逐项微分定理富比尼逐项微分定理(Fubini term by term differential theorem)是有关级数逐项微分的定理，若是区间上一列不减(或不增)的函数，使得

在上处处存在且有限，则

于

这是由富比尼(G.Fubini，)于1915年得到的，此定理中的的条件明显可改为增函数之和，但不可改为增函数之差(有界变差函数)1。

傅里叶级数的逐项微分傅里叶级数的逐项微分(term by term differentiation for Fourier series)是傅里叶级数的一种运算。若是以为周期的连续函数且除有限个点外可微，又导函数在上可积，则的傅里叶级数可由的傅里叶级数逐项微分得到，即若

则

若分段可微，则逐项微分后的级数收敛，且1

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尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学