[科普中国]-无条件收敛级数

定义针对数值级数

对于一个无条件收敛级数，把级数的各项相加的顺序做任意的排列后所得到的各种级数仍收敛于同一极限。对数项级数而言，级数是无条件收敛的当且仅当级数是绝对收敛等价的。1

在数项级数中，绝对收敛级数主要有两个重要性质：

（1）级数的重排。若数项级数绝对收敛，其和等于S，则任意重排后所得到的级数也绝对收敛且有相同的和数。2

（2）级数的乘积。若两级数均为绝对收敛级数且分别收敛于A,B，则这两个级数的乘积按正方形顺序或按对角线顺序排列所得的级数也是绝对收敛的，并且收敛于AB。2

针对Banach空间内级数 是Banach空间内的级数，如果对每一个排列 ，级数 收敛，则称 为无条件收敛的。3

针对泛函级数假如对任意基本函数，级数收敛，则称泛函级数为无条件收敛的。4

Hilbert空间内的无条件收敛定理1设X为Banach空间， ，则级数 无条件收敛的充要条件是它的任一子级数收敛。3

定理2设Hilbert空间内的级数 是无条件收敛的，则 。3

Lp空间内的无条件收敛设 空间内的级数 是无条件收敛，则对任何 ，级数 收敛。3

引理设 是Banach空间内的无条件收敛级数，则存在常数M>0，对一切的 有如下结论成立： 。3

W.Orlicz定理如果级数 是 空间内的无条件收敛级数，则有：

（1）当时 ， ；

（2）当时 ， 。3

一致凸Banach空间内的无条件收敛设级数 是Banach空间内的无条件收敛级数，则对任何的 ，级数 是收敛的。

凸性模在一致凸的Banach空间内，被单位球所截得的距球心距离是 平面直径集合的上界记为 ，它的反函数 称为空间的凸性模。

M.H.Kaneu定理如果级数 在一致凸Banach空间内是无条件收敛的，其凸性模 ，则有： 。3

cotype p的Banach空间内的无条件收敛级数cotype p的Banach空间内的无条件收敛级数的最新结果，包含了著名的W.orlicz的定理。

定理1设 是具有cotype p的Banach空间内的无条件收敛级数，则 。

定理2设 是 空间内的无条件收敛级数，则有：

（1）当时 ， ；

（2）当时 ， 。3