[科普中国]-曲面面积

基本介绍

设空间有界曲面 为

其中 是 在 面上的投影区域， 在 上具有连续的偏导数，下面讨论曲面的面积的计算问题。

现用平行于x轴和y轴的两组平行直线分割投影区域 ，如图1所示，任取其中的一块记作 ，其面积也记作 ，则当 的直径很小时， 表示以 的边界为准线，母线平行于z轴的柱面截得的曲面 上的那部分，设 是 上的任一点，根据条件，曲面 在点P处有切平面，则可用柱面截得切平面上的那一小片平面的面积dS近似地代替 的面积 ，则

其中， 是切平面与 面的夹角，也就是切平面的法向量n与 面的法线 轴的夹角，由曲面 的方程可知

所以

代人式(1)得

则曲面的面积微元为

将dS在投影区域 上积分，便得计算曲面面积的二重积分公式

如果所求曲面的方程用 或 表示比较方便，则同理可将曲面分别投影到 面或 面，类似地可得相应曲面的面积计算公式，分别为

或

其中， 分别为曲面 在yOz面或zOx面上的投影区域。1

例题解析例1 证明球面 的表面积为。

解: 由对称性，取上半球面方程为 ，它在xOy面上的投影区域为

由式（2）得

例2 求抛物面位于之间的那一部分的面积。1

解: 曲面在xOy面上的投影区域，由式(2)，得