[科普中国]-双叶双曲面

简介

在几何学中，双叶双曲面（有时称为旋转双曲面、椭圆双曲面或圆形双曲面）是通过围绕其主轴旋转双曲线而产生的表面。双曲面是可以通过使用方向定标使其变形而从旋转抛物面获得的表面。

双曲面是二次曲面，其可以被定义为三个变量中的二维多项式的点的集合的表面。 在二次曲面中，双曲面的特征在于不仅具有对称中心，而且让平面和其相交还能形成锥体、柱体等。 双曲面还具有三对垂直对称轴和三对垂直对称平面。1

给定双曲面，如果选择轴为双曲面对称轴的笛卡尔坐标系，并且原点是双曲面的对称中心，则双曲面可以由以下两个方程之一定义：

或者

这两个方程均趋近于下面方程的锥。

当且仅当时能形成旋转双曲面。

在第一种情况下（方程式右侧的为1），它是单叶双曲面，也称为双曲面。 它是一个连接表面，每个点都具有负高斯曲率。 这意味着任何点处的切线平面与双曲面相交成两条线，因此单叶双曲面是双重曲面。

在第二种情况（方程式右侧的为-1）中，它具有两片双曲面，称为双叶双曲面。 表面有两个连接的部件，每个点都有正高斯曲率。 因此，在这个意义上，表面是凸的，每个点的切线平面仅在这一点上相交。2

参数表示可以定义双曲面的笛卡尔坐标，类似于球面坐标，保持方位角θ∈[0,2π），但将倾斜度v变为双曲线三角函数3：

双叶双曲面：

属性双叶双曲面不包含线。 对于平面截面的讨论可以用两个方程式的双曲面：

其可以通过围绕其一个轴线（切割双曲线的）的旋转双曲线产生.

（1）斜率小于1的平面（1是生成双曲线的渐近线的斜率）与相交或者是椭圆或者是一个点或者不相交；

（2）包含原点的斜率等于1的平面（双曲面的中点）与不相交；

（3）不包含原点的斜率等于1的平面与相交成抛物线；

（4）斜率大于1的平面相交成双曲线。

双曲面的对称性双曲面的方程：

（1）关于原点对称；

（2）关于坐标平面对称；

（3）在a = b（旋转双曲面）的情况下，与z轴旋转对称并对称于包含z轴的任何平面。4

双曲面的曲率双叶双曲面的高斯曲率为正。 尽管它具有正曲率，但是具有另一适当选择的度量的双叶双曲面也可以用作双曲线几何的模型。

广义方程更一般地，以v为中心的任意取向的双曲面由等式定义：

其中A是矩阵，x，v是向量。

A的特征向量定义双曲面的主方向，A的特征值是半轴平方的倒数：。 单叶双曲面具有两个正特征值和一个负特征值。 双叶双曲面具有一个正特征值和两个负特征值。

三维以上虚构的双曲面经常出现在较高维数的数学中。 例如，在伪欧几里德空间中，使用二次形式：

当c为任何常数时，则由空间给出的部分

被称为双曲面。 退化情况对应于c = 0