[科普中国]-数学结构

历史

在1939年，法国的笔名是尼古拉斯·布尔巴基（Nicolas Bourbaki），它将结构作为数学的根源。 他们首先提到他们在“集体”的理论的集合，并将其扩展到1957年版的第四章。他们确定了三个母体结构：代数，拓扑和秩序。2

定义在数学中，一个集合上的结构，或者更一般的讲类型，是由附加在该集合上的数学对象所组成，它们使得这个集合更易操作或赋予它们特殊的意义。

常见的结构包括测度，代数结构，拓扑，度量结构（几何），序，和等价关系等等。

有时候，一个集合同时有几种结构；这使得可研究的属性更丰富。例如，序可以导出一种拓扑。又如，如果一个集合有个拓扑并是一个群，而且这两个结构满足一定关系，则该集合成为一个拓扑群。

保留结构的集合之间的映射在许多数学领域是特别感兴趣的。比如保持代数结构的同态；保持拓扑结构的同胚；和差异结构保留差异结构。

例子实数集有几个标准结构：

序：任意两个数都可以比较大小，即全序。

代数结构：乘法和加法使其成为一个域。

测度：实直线上的区间有长度。

几何：它有一个度量，并且是平直的。

拓扑：数和另外一个数有远近关系。

这些关系互相关联：

序和度量分别导出它的拓扑。

序和代数结构使它成为有序域。

代数结构和拓扑使它成为李群（一种拓扑群）。

分类它是对于各种数学对象，例如，有序集、线性空间、群、环、拓扑空间、流形等，用集合和关系的语言给出的统一形式.结构由若干集合，定义在集合上或集合间的一些关系，以及一组作为条件的公理组成.随着数学的发展，不断出现许多新的数学分支，这些分支有其各自的研究对象，独特的方法，独自的语言.另一方面，数学不同领域的方法和思想的互相渗透，建立了现代数学的共同逻辑基础(数理逻辑)、共同的基本概念(集合)和共同的方法(公理化方法).法国布尔巴基学派采用全局观点，着重分析各个数学分支之间的结构差异和内在联系，他们认为数学的基本结构有三种，称为母结构：1

1.代数结构：由集合及其上的运算组成，如群、环、域、线性空间等。

2.序结构：由集合及其上的序关系组成，如偏序集、全序集、良序集。

3.拓扑结构：由集合及其上的拓扑组成，如拓扑空间、度量空间、紧致集、列紧空间等。

通过以上三种母结构的变化、复合、交叉形成各种数学分支。

发展中国日报网环球在线消息：据英国《泰晤士报》报道，18名世界顶级数学家凭借他们不懈的努力，历时四年，完成了世界上最复杂的数学结构之一“E8”的计算过程。如果在纸上列出整个计算过程所产生的数据，其所需用纸面积可以覆盖整个曼哈顿。3