[科普中国]-垂足曲线

垂足曲线(pedal curve)是一种平面曲线，即由一已知曲线所产生的另一曲线。给定一条曲线C和一个定点O，从点O向曲线C的任一条切线作垂线，垂足M的轨迹S称为曲线C关于O点的垂足曲线。反过来，C称为曲线S关于O点的反垂足曲线。例如，抛物线关于焦点的垂足曲线是直线，椭圆和双曲线关于焦点的垂足曲线都是圆，等边双曲线关于中心的垂足曲线是双纽线1。

定义在平面内，过定点O向曲线 的切线作垂线，其垂足的轨迹就叫做曲线 关于点 的垂足曲线。例如，圆关于任意点的垂足曲线是蜗线；抛物线关于其焦点的垂足曲线是直线；等轴双曲线关于其中心的垂足曲线是双纽线。曲线 对于其垂足曲线叫做反垂足曲线2。

垂足曲线的方程我们称定点 对曲线 上各点切线作垂线的垂足所形成的曲线 ，为曲线 对 点的垂足曲线，而称曲线 为曲线 的反垂足曲线。如图1所示3。

若设 点的坐标为 ，曲线C的方程为

则其上任一点的切线方程为

过 点与此切线垂直的直线方程为

垂足为方程(2)和(3) 所示直线的交点。当 连续变化时，方程(2)和(3)的联立解即为垂足曲线 的方程。 即：

反垂足曲线是垂足曲线上点与 连线(径向线) 的垂线族的包络。现在极坐标系下由已知垂足曲线 的方程

推导反垂足曲线C的方程。为便于分析起见，现约定方程:(4)为取 为极点，极轴为图2中 的特定条件下的表达式。见图2，极径 的垂线 的方程为

这是单参数 的直线族。C为其包络则必须满足

于是联立式(5)、(6)两式，可得反垂足曲线C的方程

由上式可知

还可以推出曲线C的曲率半径为3

本词条内容贡献者为:

尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学