[科普中国]-哈密顿-雅可比方程-

简介

哈密顿—雅可比方程（HJE）是经典哈密顿量一个正则变换，经过该变换得到的结果是一个一阶非线性偏微分方程，方程之解描述了系统的行为。与哈密顿运动方程的不同之处在于 HJE 是一个偏微分方程，每个变量对应于一个坐标，而哈密顿方程是一个一阶线性方程组，每两个方程对应于一个坐标。HJE 可以漂亮地解析一些重要问题，例如开普勒问题。

HJE 是唯一能够将粒子运动表达为波动的一种力学表述。因此，HJE 满足了一个长久以来理论物理的研究目标（早至 18 世纪，约翰·伯努利和他的学生皮埃尔·莫佩尔蒂的年代）；那就是，寻找波传播与粒子运动的相似之处。力学系统的波动方程与薛定谔方程很相似；但并不相同。稍后会有详细说明。HJE 被认为是从经典力学进入量子力学最近的门阶。

数学表述

哈密顿-雅可比方程是一个一阶非线性偏微分方程。用数学表达

其中，是哈密顿量，未知函数称为哈密顿主函数，是广义坐标，是积分常数，t是时间1。

假若能够找到哈密顿主函数S的形式，就可以计算出广义坐标与广义动量随时间的演变。这样，可以完全地解析物理系统随时间的演化。

说明：矢量与标量分别用粗体与斜体显示。例如，位置矢量通常用r表示；而其大小则用r来表示。

各种力学表述的比较

哈密顿-雅可比方程是一个一阶非线性偏微分方程；其中，函数有个广义坐标，和个独立的积分常数。在 HJE 中，哈密顿主函数S有一个很有意思的属性，它是一种经典作用量。

与拉格朗日力学的拉格朗日方程比较，哈密顿力学里使用共轭动量而非广义速度。并且，哈密顿方程乃是一组个一阶微分方程，用来表示个广义坐标和个广义动量随时间的演变，而拉格朗日方程则是一组个二阶微分方程，用来表示个广义坐标随时间的演变。

因为 HJE 等价于一个最小积分问题（像哈密顿原理）， HJE 可以用于许多关于变分法的问题。更推广地，在数学与物理的其它分支，像动力系统、辛几何、量子混沌理论，都可以用 HJE 来解析问题。例如，HJE 可以用来找寻黎曼流形的测地线，这是黎曼几何一个很重要的变分法问题。

详解

在哈密顿力学里，正则变换将一组正则坐标变换为一组新的正则坐标，而同时维持哈密顿方程的型式（称为型式不变性）。旧的哈密顿方程为

新的哈密顿方程为

这里，、分别为旧的哈密顿量与新的哈密顿量，是时间。

假若，使用第二型生成函数来生成新正则坐标，则新旧正则坐标的关系为

而新旧哈密顿量的关系为

1.哈密顿主函数

假若，可以找到一个第二型生成函数。这生成函数使新哈密顿量恒等于 0 。称这个生成函数为哈密顿主函数。那么，新哈密顿量所有的偏导数都等于 0 。哈密顿方程也变得非常的简单：

这样，新正则坐标都成为运动常数、：

由于，代入旧哈密顿量，则可得到哈密顿-雅可比方程：

解析问题的重要关键是必须找到哈密顿主函数的方程。一旦找到这方程，因为

给予q与p在时间的初始值，与，可以求出运动常数a,b。知道这两组运动常数，立刻可以得到旧正则坐标q与p随时间的演变。

2.哈密顿特征函数

假设，哈密顿量不显含时：。那么，

哈密顿量是一个运动常数，标记为：

哈密顿主函数可以分离成两部分：

其中，不含时间的函数称为哈密顿特征函数。

思考一个新的正则变换。设定哈密顿特征函数为一个第二型生成函数：

那么，哈密顿-雅可比方程变为

由于哈密顿特征函数不显含时，新旧哈密顿量的关系为

新正则坐标随时间的导数变为

，设定为，

所以，新正则坐标变为

假若，能找到哈密顿特征函数，给予旧广义坐标与旧广义动量在时间的初始值，与，依照前面所述方法，就可以求出旧正则坐标随时间的演变。

分离变数法

哈密顿-雅可比方程最有用的时候，是当它可以使用分离变数法，来直接地辨明运动常数。假设，HJE 可以分为两部分。一部分只跟广义坐标、哈密顿主函数的偏导数有关，标记这部分为。另一部分跟、无关。对于这状况，哈密顿主函数 S可以分离为两个函数。一个函数除了广义坐标以外，跟任何其它广义坐标无关。另外一个函数跟无关。