[科普中国]-多值映射

对于两个集合，如果按照一个对应关系(规则)，使得对于X中的每一元素，都有中的一个(几个)确定的元素与之对应，那么我们把这个对应关系叫做集合到集合的单值(多值)映射。通常用等符号来代表映射，当表示一个由集合到集合的映射，那么记，或。对任意，对于任意集合，我们把集合叫做的象；而对任何集合，我们把集合叫做的原象(逆象)2。

自冯·诺伊曼(J.von Neumann)将集值映射不动点理论应用于博弈论之后，集值映射理论在邻近学科中的应用日益广泛。1969年5月在纽约州的布法罗市召开了集值映射的国际会议，更引起了邻近学科工作者的广泛重视。

定义1 对凸集上的函数，如果不等式

对任意的和任意成立，那么我们称函数为X上的凹函数。当不等式是严格不等式时，我们叫为严格凹函数。类似可定义凸函数。

下面的定义都将限制集合是中的有界闭、凸集。

定义2 对多值映射，序列，如果当，且时有，那么，我们说映射是上半连续的。

当为单值映射时，以上就是它的连续性定义。

定理1 假定集合是凸，有界闭集，定必在上的连续函数关于是凹的，那么映射

是上半连续的，且集合是非空凸，闭集。

为了证明定理2，我们先要介绍下半连续的定义。

定义3 若从能够推出存在，使得，则称映射为下半连续。

定理2 假定集合X与Y是凸、有界闭集，函数定义在上，且对与分别是连续的，对是凸的，如果存在，使得对所有满足。那么映射既是上半连续又是下半连续，并且集合是非空，凸且闭的。

下面的定理是以上两个定理的推论。

定理3假定连续函数定义在上，其中是凸，有界闭集，对y是凹的，并且多值映射是上半且下半连续的，集非空，对任意是凸的。那么映射

是上半连续的，集合是非空，凸且有界闭的集合2。

关于多值映射的线性组合，我们有如下定义。

定义4 假定有几个映射是上半连续的，是凸且有界闭的集合，那么映射

叫做映射的线性组合，并用记号。

关于多值映射的线性组合，有如下结论：

定理4上半连续映射的线性组合也是上半连续的。

下述的日本学者卡库坦的多值映射不动点定理，在经济数学中占有重要地位。

定理5假定X是凸且有界闭的中的子集，映射是上半连续的，集合是非空凸集，那么存在使。