对于两个集合,如果按照一个对应关系(规则),使得对于X中的每一元素
,都有
中的一个(几个)确定的元素
与之对应,那么我们把这个对应关系叫做集合
到集合
的单值(多值)映射。通常用
等符号来代表映射,当
表示一个由集合
到集合
的映射,那么记
,或
。对任意
,对于任意集合
,我们把集合
叫做
的象;而对任何集合
,我们把集合
叫做
的原象(逆象)2。
自冯·诺伊曼(J.von Neumann)将集值映射不动点理论应用于博弈论之后,集值映射理论在邻近学科中的应用日益广泛。1969年5月在纽约州的布法罗市召开了集值映射的国际会议,更引起了邻近学科工作者的广泛重视。
相关定义与定理定义1 对凸集上的函数
,如果不等式
对任意的
和任意
成立,那么我们称函数
为X上的凹函数。当不等式是严格不等式时,我们叫
为严格凹函数。类似可定义凸函数。
下面的定义都将限制集合是
中的有界闭、凸集。
定义2 对多值映射,序列
,如果当
,且
时有
,那么,我们说映射
是上半连续的。
当为单值映射时,以上就是它的连续性定义。
定理1 假定集合是凸,有界闭集,定必在
上的连续函数
关于
是凹的,那么映射
是上半连续的,且集合
是非空凸,闭集。
为了证明定理2,我们先要介绍下半连续的定义。
定义3 若从能够推出存在
,使得
,则称映射
为下半连续。
定理2 假定集合X与Y是凸、有界闭集,函数定义在
上,且对
与
分别是连续的,对
是凸的,如果存在
,使得对所有
满足
。那么映射
既是上半连续又是下半连续,并且集合
是非空,凸且闭的。
下面的定理是以上两个定理的推论。
定理3假定连续函数定义在
上,其中
是凸,有界闭集,
对y是凹的,并且多值映射
是上半且下半连续的,集
非空,对任意
是凸的。那么映射
是上半连续的,集合
是非空,凸且有界闭的集合2。
关于多值映射的线性组合,我们有如下定义。
定义4 假定有几个映射是上半连续的,
是凸且有界闭的集合,那么映射
叫做映射
的线性组合,并用记号
。
关于多值映射的线性组合,有如下结论:
定理4上半连续映射的线性组合也是上半连续的。
下述的日本学者卡库坦的多值映射不动点定理,在经济数学中占有重要地位。
定理5假定X是凸且有界闭的中的子集,映射
是上半连续的,集合
是非空凸集,那么存在
使
。