[科普中国]-分段可微函数

现在复习一下导数的概念：如果差商极限

存在(有限)，就把这极限值叫做在的导数(或微商)，记作。单侧导数的定义：首先，设在的右极限存在。如果以下差商右极限

存在(有限)，就把这极限值叫做在点的右导数；其次，设在的左极限存在，如果

存在(有限)，就把这极限值叫做在点的左导数。

如果函数在闭区间的每点有导数(在点只要右导数，在b点只要左导数)，就说在区间可微。其直观意义就是的图象在上处处有确定的切线。

可以把在区间的可微推广为分段可微：如果能把闭区间分成有限多个闭区间，使分别在每个小的闭区间上可微，就说函数在上分段可微。例如图1就表示一个在上分段可微的函数，分开的小闭区间就是，这样分开的小的闭区间叫做的可微区间。

如果在整个数轴上有意义，且在数轴上的任何闭区间(长度有限)上分段可微，就说在整个数轴上分段可微。

分段可微函数不但可能有有限跳跃，而且其图象可能有“尖点”，即左、右导数存在但不相等的连续点(如图1中处)2。

关于分段连续

（1）如果在数轴上分段连续，它在任何闭区间上分段连续，就是说，可把分成有限多个小的闭区间，分别在这些小的闭区间上连续。这样，就分别在这些连续区间上可积，从而在可积。

（2）如果在数轴上分段连续，那么，在它的连续区间内部的点上，的极限存在，即左、右极限都存在且相等。在连续区间的右端点，例如在图1中区间的右端点，的左极限存在。但同时是右方相邻的连续区间的左端点，故在的右极限也存在。总而言之，在数轴上的任何点，分段连续函数的左、右极限都存在。在唯一可能的间断性是，这种间断性称为有限跳跃。分段连续函数不能具有象在那样的间断性。

分段可微函数

（3）如果在数轴上分段可微，则它在可微区间上必连续，于是在数轴上分段连续，根据（1），知在任何闭区间上可积。

（4）通过类似（2）中的讨论可知，如在数轴上分段可微，则在数轴上的任何点都具有左导数和右导数。

（5）设只是在长为T的区间上给出的分段可微函数，把按周期T延拓到整个数轴上(仍用表示延拓后的函数)。那么，延拓后的必是数轴上分段可微的函数。这时。