[科普中国]-偏微分方程数值解

通过数值计算方法，在计算机上对偏微分方程的近似求解。科学和工程中的大多数实际问题都归结为偏微分方程的定解问题，由于很难求得这些定解问题的解析解（在经典意义下甚至没有解），人们转向求解它们的数值近似解。

简介通过数值计算方法，在计算机上对偏微分方程的近似求解。科学和工程中的大多数实际问题都归结为偏微分方程的定解问题，由于很难求得这些定解问题的解析解（在经典意义下甚至没有解），人们转向求解它们的数值近似解。通常先对问题的求解区域进行网格剖分，然后基于有限元法、有限差分法和有限体积法等数值方法，对原定解问题或其等价形式离散，并归结为一个线性代数力程组，最终在计算机上求得精确解在离散网格点上的近似值。求解涉及数值方法及其理论分析（稳定性、收敛性、误差估计）、计算机上的实现等一系列问题。

求解效率求解的效率，一方面依赖计算机运行的速度，另一方面也依赖数值方法或算法，而且这方而更为重要。自从1946 年第一台电子计算问世（运行速度每秒500 次乘法），到目前的千万亿次的超级计算机，计算速度得到了飞速发展。但对一个n 阶线性代数方程组,若用克拉默法则求解（运算量为(n-1)(n+1)!），当n= 50 时，即使用1千万亿次/秒（次/ 秒）的计算机来计算，也至少需要 秒，超过宇宙的年龄（ 秒）；若用高斯消元法（运如最为 ）求解，不到 1 秒即可完成。所以研究高性能的数值理论力方法及算法（如并行算法）至关重要，这是发展趋势，而且，如何求解得更快、更精确以及适应更复杂、规模更大的问题始终是值得研究的课题。

应用数值近似求解的研究由来已久，但只是在20 世纪后期电子计算机产生后，才得到广泛的发展和应用（如有限元理论始于60年代）。目前数值求解的规模也变得更大，例如在航天器设计、湍流模拟、气候预测、油田开发等各种实际问题中，经常过到大规模（网格数至少在百万以上）的运算量问题。偏微分方程的数值求解已渗透到物理、化学、生物等现代科学与工程的各领域，对科技和国民经济的发展有重要作用。1

偏微分方程是构建科学、工程学和其他领域的数学模型的主要手段。一般情况下，这些模型都需要用数值方法去求解。借助抛物线型、双曲线型和椭圆型方程常用的有有限差分方法、有限元方法、有限体方法、修正方程分析、辛积分格式、对流扩散问题、多重网络、共轭梯度法。利用极大值原理、能量法和离散傅里叶分析清晰严格地处理了稳定性问题。

本词条内容贡献者为:

尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学