[科普中国]-欧几里得引理

在数论中，欧几里得引理是根据欧几里得的《几何原本》第七卷的命题30推出的一个定理。这个引理说明：如果一个正整数整除另外两个正整数的乘积，第一个整数与第二个整数互质，那么第一个整数整除第三个整数。可以这样表达这个引理：如果a|bc ，gcd(a,b)=1 那么 a|c。命题30是这样说的：如果一个素数整除两个正整数的乘积，那么这个素数可以至少整除这两个正整数中的一个。如果 p|bc，那么p|b或者p|c。

表述1及证明**(欧几里得引理)**设是域，，如果是中的不可约多项式，且，则要么

要么

更一般地，如果，则有某个使得。

证明概要： 假定但，因是不可约的，所以，从而有多项式和使得，所以

由假设，，因而。

表述2及证明**(欧几里得引理)**如果是素数且，则或。更一般地，如果素教整除乘积，则至少整除其中的一个因数。

**证明概要：**如果，则且。因此，是的倍数。第二个结论可对用归纳法证明1。

表述3如果一个正整数整除另外两个正整数的乘积，第一个整数与第二个整数互质，那么第一个整数整除第三个整数。

或说：如果一个素数整除两个正整数的乘积，那么这个素数可以至少整除这两个正整数中的一个。

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尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学