[科普中国]-牛顿逼近法

牛顿逼近法-牛顿逼近法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x）的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。1

简介牛顿逼近法，又称牛顿法（英语：Newton's method）又称为牛顿-拉弗森方法（英语：Newton-Raphson method），它是一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。方法使用函数 的泰勒级数的前面几项来寻找方程 的根。

起源牛顿法最初由艾萨克·牛顿在《流数法》（Method of Fluxions，1671年完成，在牛顿去世后的1736年公开发表）中提出。约瑟夫·鲍易也曾于1690年在Analysis Aequationum中提出此方法。

方法说明蓝线表示方程 而红线表示切线。可以看出 比 更靠近 所要求的根 。

首先，选择一个接近函数 零点的 ，计算相应的 和切线斜率 （这里 表示函数 的导数）。然后我们计算穿过点 并且斜率为 的直线和 轴的交点的 坐标，也就是求如下方程的解：

我们将新求得的点的 坐标命名为 ，通常 会比 更接近方程 的解。因此可以利用 开始下一轮迭代。迭代公式可化简为如下所示：

已经证明，如果 是连续的，并且待求的零点 是孤立的，那么在零点 周围存在一个区域，只要初始值 位于这个邻近区域内，那么牛顿法必定收敛。

并且，如果 ，那么牛顿法将具有平方收敛的性能。粗略的说，这意味着每迭代一次，牛顿法结果的有效数字将增加一倍2。

具体介绍求代数方程 的精确解是很难的事情，特别地当 是 高于5次的多项式时，不能通过多项式系数的有限次运算得到根的表达式。在这种情况下求 方程的近似解却是可以的，牛顿法就是一种比较好的逐次逼近法。牛顿法在求根过程中逼近很快，用计算机计算是十分方便的。

牛顿法的本质仍然是“以直代曲”，首先猜测一个值x1，用它近似方程的根 c,用过 点的切线 近似代替曲线,然后用切线方程 的根 近似代替曲线方程的根c,这样就得到c的第二个近似值。依此类推可得到迭代公式

在复平面上选定一个区域，对于任意初始点(除去(0，0)点)，讨论它在牛顿法迭代过程中的行为。一般选 ,其中p是大于2的正整数。这样，迭代公式还可以 改写为

对于 ，有三个根： ，三个根均匀地分布在单位圆上3。

迭代过程照例要先将复数分解为实部和虚部：

以 为例，用牛顿法生成分形图形的一个简单的matlab源程序如下：

% 牛顿求根法

N=160;

warning off

[X,Y]=meshgrid((-N:N)/N*2);

[m,n]=find(X==0&Y==0);

X(m,n)=1;

Y(m,n)=1;

R=zeros(321);

G=R;

B=R;

for k=1:30;

Xn=2*X/3+(X.^2-Y.^2)./(3*(X.^2+Y.^2));

Yn=2*Y/3-2*X.*Y./(3*(X.^2+Y.^2));

X=Xn;

Y=Yn;

end

R(X>0.8)=1;

G(Y0.5)=1;

imshow(cat(3,R,G,B))

本词条内容贡献者为:

尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学