[科普中国]-预序关系

预序关系（简称预序，又称先序，preorder，quasi-order）、在数学中，是一类接近于偏序关系的二元关系，但仅满足自反性和传递性而不满足反对称性。偏序的大多数理论均可扩展到预序。

定义考虑集合 P 及其上的二元关系 。若具有自反性和传递性，则称为预序。具体来说，对 P 的任意元素 a，b 和 c，下列性质成立：1
自反性：a a

传递性：若a b且b c，则a c

带预序的集合称为预序集合（preordered set，或者proset）。

同时满足反对称性（若 a b 且 b a，则 a = b）的预序为偏序。

另一方面，如果一个预序满足对称性（若a b，则b a），则为等价关系。

说明作为特例，空集上的空关系为一预序。空集加上空关系构成一预序集。

导出偏序将预序集的等价元素等同起来，可得到由该预序集所导出的偏序集。具体过程如下：定义预序集 X 上的等价关系 ，使得 a b 当且仅当 a b 且 b a。定义所得商集 （所有 的等价类构成的集合）上的序关系 ，使得[x] [y] 当且仅当 x y。由 的构造可知， 的定义与所选等价类的代表元素无关，故上述定义明确。易证该关系为一偏序。

举例有向图（可以包括圈）上的可到达关系给出了一个预序≤，对于有向图中的任意两点x, y，x≤y当且仅当存在一条由x到y的路径。反过来说，每个预序都可理解为一个有向图上的可到达关系。（比如，如果x≤y的话，就规定这个图包含由x到y的有向边。）不过，这种对应关系不是唯一的。不同的图也可以给出相同的可到达关系。而同样地，有向无环图上的可到达关系也诱导出一个偏序。

拓扑中网的收敛定义使用预序比使用偏序可避免重要特征的丢失。

可数全序间的嵌入（embedding）关系。

图论中的graph-minor关系。

全预序的例子：一般模型中的偏好概念。

参见二元关系

偏序关系

全序关系

等价关系

有向集合

预序范畴

预良序

本词条内容贡献者为:

何星 - 副教授 - 上海交通大学