[科普中国]-余式定理

余式定理是指当一个多项式f(x) 除以一线性多项式(x – a) 的余式是 f(a)。余式定理可由多项式除法的定义导出。

定义余式定理是指一个多项式 除以一线性多项式 的余式是 }。

我们可以一般化余数定理。如果 的商式是 、余式是 ，那么 。其中 的次数会小于 的次数。例如， 的余式是 。又可以说是把除式的零点代入被除式所得的值是余式。 至于除式为2次以上时，可将n次除式的 根 列出联立方程：

其中 是被除式 是余式。 此方法只可用在除式不是任一多项式的 次方。

推导余式定理可由多项式除法的定义导出。根据多项式除法的定义，设被除式为 ，除式为 ，商式为 ，余式为 ，则有
如果是一次式，则的次数小于1，因此，只能为常数，这时，余式也叫余数，记为，即有根据上式，当时，有

因此，我们得到了余数定理：多项式 除以 所得的余数等于

推论：多项式除以的余式为。

关于如何求f（x）除以一个多项式的余式——长除法**。**

特殊的余式定理——因式定理1.因式定理的定义在代数，因式定理(factor theorem)是关于一个多项式的因式和零点的定理。这是一个余式定理的特殊情形。因式定理指出，一个多项式有一个因式当且仅当。

2.多项式的因式分解因式定理普遍应用于找到一个多项式的因式或多项式方程的根的两类问题。从定理的推论结果，这些问题基本上是等价的。

若多项式已知一个或数个零点，因式定理也可以移除多项式中已知零点的部分，变成一个阶数较低的多项式，其零点即为原多项式中剩下的零点，以简化多项式求根的过程。方法如下2：

1）先设法找出多项式的一个零点。

2）利用因式定理确认是多项式的因式。

3）利用长除法计算多项式。

4）中，所有满足条件的根都是方程式的根。因为的多项式阶数较要小。因此要找出多项式的零点可能会比较简单。

5）欲使A=BQ+R成立,就令除式BQ=0,则被除式A=R能使此方程式成立,则被除式=(商式)(除式)+余式或被除式/除式=商式+余式/除式。

本词条内容贡献者为:

孙和军 - 副教授 - 南京理工大学