[科普中国]-正合序列

在数学中，正合序列、正合列或译作恰当序列于同调代数中居于核心地位，其中特别重要的一类是短正合序列。

定义一个由某类适宜的范畴（例如阿贝尔群、向量空间或模，详如后述）中的对象与态射构成的序列

被称作在 处正合，当且仅当

一般而言，该范畴中的序列

被称作是正合的，当且仅当它在 、 、 处正合。类似定义可以推广至没有端点的无穷序列。

为了探讨序列的正合性，范畴中必须能构造一个态射的像 与核 ，并确保这两种构造具备在阿贝尔群、向量空间或模的情形一样的范畴论性质。处理这类问题的框架是阿贝尔范畴，以下考虑的范畴如未说明皆为阿贝尔范畴。1

例子1、序列

正合的充要条件是 是单射。

2、序列

正合的充要条件是 是满射。

3、对任何态射 ，以下序列都是正合的：

注意：在群的范畴中，必须要求 在 中的像是正规子群才能考虑 ，故上述正合性对一般范畴不成立。1

短正合序列一个具下述形式的正合序列：

称作短正合序列。

分裂短正合序列若以下任一等价条件成立，则称短正合序列分裂：

1、有截面（即存在使得）。

2、有缩回（即存在使得）。

3、该短正合序列同构（在链复形的意义下）于

其中的箭头是直和的典范映射。

对于群的范畴，前两个条件不一定蕴含第三个，它们只能保证可以表为与的半直积；例如我们可考虑群同态

其中是3次对称群。由给出，它的像是交代群，商为；但无法分解成。

将正合序列拆解为短正合序列正合序列可以透过核Ker与上核Coker的构造拆解为短正合序列，构造方式如下：考虑一正合序列

设

其中，这就给出了一个短正合序列

一般而言，设为链复形，我们同样定义；此时链复形的正合性等价于所有短链的正合性。

推广给定一个短正合序列

有时也称为经由的扩张。2

长正合序列若有链复形的短正合序列：

反复运用蛇引理，可以导出正合序列：

对上链复形的上同调亦同，此时连接同态的方向是。这类序列称作长正合序列，它是同调代数最重要的技术之一。在代数拓扑中，长正合序列与相对同调群和Mayer-Vietoris序列相关。导函子也可以导出相应的长正合序列。2

参见正合函子

链复形

本词条内容贡献者为:

尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学