[科普中国]-扁球面坐标

扁球面坐标是扁球面坐标系（英语：Oblate spheroidal coordinates）内的坐标。

扁球面坐标系扁球面坐标系（英语：Oblate spheroidal coordinates）是一种三维正交坐标系。设定二维椭圆坐标系包含于xz-平面；两个焦点的直角坐标分别为 与 。将椭圆坐标系绕着z-轴旋转，则可以得到扁球面坐标系。（假若，绕着y-轴旋转，则可以得到长球面坐标系。）椭圆坐标系的两个焦点，变为一个半径为 的圆圈，包含于三维空间的xy-平面。称这圆圈为焦圆，又称为参考圆。扁球面坐标系可以被视为椭球坐标系的极限案例，其两个最大的半轴的长度相同。

当边界条件涉及扁球面或旋转双曲面时，扁球面坐标时常可以用来解析偏微分方程式。例如，关于佩兰摩擦因子（Perrin friction factors）的计算，扁球面坐标扮演了极重要的角色。让·佩兰因此而荣获1926年诺贝尔物理奖。佩兰摩擦因子决定了分子的旋转扩散（rotational diffusion）。这程序又影响了许多科技，像蛋白质核磁共振光谱学（protein NMR），的可行性。应用这程序，我们可以推论分子的流体动力体积与形状。扁球面坐标也时常用来解析电磁学（例如，扁球形带电的分子的电容率），声学（例如，声音通过圆孔时产生的散射），流体动力学（水通过消防水带的喷口），扩散理论（红热的钱币在水里的冷却），等等方面的问题。1

第一种表述在三维空间里，一个点P的扁球面坐标 常见的定义是：

其中， 是个实数，角度 ，角度 。

学术界比较中意这一种扁球面坐标，因为没有简并；三维空间内每一点都拥有自己独特的扁球面坐标。

坐标曲面坐标曲面是扁球面 ：

它们是由椭圆绕着z-轴旋转形成的。椭球面与xz-平面的相交，是一个的椭圆。沿着x-轴，长半轴长度为 ，沿着z-轴，短半轴长度为 。椭圆的焦点都包含于x-轴，x-坐标分别为 。

坐标曲面是半个单叶旋转双曲面 ：

假若 是正值， 也是正值，这半个单叶旋转双曲面在xy-平面以上；假若是负值，则在xy-平面以下。 是双曲线的渐近线的角度。所有双曲线的焦点都在x-轴，x-坐标分别为 。

坐标曲面是个半平面 ：

逆变换用直角坐标 来计算扁球面坐标 ，方位角 的公式为

设定 与 分别为点P与焦圆的最远距离与最近距离，以方程式表示为

坐标 和 的方程式分别为：

标度因子扁球面坐标 与 的标度因子相等：

方位角 的标度因子为

无穷小体积元素是

拉普拉斯算子是

其它微分算子，像 、 ，都可以用 坐标表示，只要将标度因子代入在正交坐标系条目内对应的一般公式。2

第二种表述概述另外有一组有时会用到的扁球面坐标 ；其中， ， 。 坐标曲面是个扁球面， 坐标曲面是个旋转双曲面。从直角坐标变换至扁球面坐标：

其中，实数 ，实数 ，角度 。

标度因子扁球面坐标 的标度因子分别为：

无穷小体积元素是：

拉普拉斯算子是：

第三种表述另外，还有一种比较有几何直觉性的扁球面坐标系 ：

坐标 必须大于或等于1。坐标 必须在正负1之间。 坐标曲面是扁球面。 坐标曲面是单叶双曲面，包含了对应于正负 的半双曲面。第三种坐标有双重简并：三维空间的两点（直角坐标 映射至一组扁球面坐标系 ）。这双重简并可以从直角坐标变换至扁球面坐标的公式观察到：

坐标 与 有一个简单的公式来表达任何一点P与焦圆的最远距离 ，最近距离 ：

所以，点P与焦圆的最远距离是 ，点P与焦圆的最近距离是 。

坐标曲面 坐标曲面是扁球面 ：

坐标曲面是单叶旋转双曲面 ：

坐标曲面是半个平面 ：

标度因子扁球面坐标 的标度因子分别为：

无穷小体积元素是：

拉普拉斯算子是：

其它微分算子，像、，都可以用坐标表示，只要将标度因子代入在正交坐标系条目内对应的一般公式。

如同球坐标解答的形式为球谐函数，拉普拉斯方程可以用分离变数法来求解，得到形式为扁球谐函数的答案。假若，边界条件涉及扁球面，我们可以优先选择这方法来解析。2

本词条内容贡献者为:

王海侠 - 副教授 - 南京理工大学