[科普中国]-Burgers方程

简介

伯格斯方程(Burgers equation) 是一个模拟冲击波的传播和反射的非线性偏微分方程。12

伯格斯方程是应用数学的各个领域的基本偏微分方程，如流体力学，非线性声学，气体动力学。 它被用约翰内斯·马丁斯汉堡（1895-1981）的名字命名。

对于给定的字段y（x，t）和扩散系数（或粘度，如在原始流体力学上下文中）d，伯格斯方程也称为粘性伯格斯方程）在一个空间维度是耗散系统：

增加时空噪声形成随机伯格斯方程3

伯格斯方程只适用于一个空间维度，Kardar-Parisi-Zhang方程则广泛应用于多个维度。

当扩散项不存在（即d = 0）时，伯格斯方程成为不粘伯格斯方程：

这是可以发展不连续性（冲击波）的守恒方程的原型。 以前的方程式是伯格斯方程的“平流形式”。 “保护形式”是

求解不含伯格斯的方程;

无粘连的伯格斯方程是一个守恒方程，更一般地说是一阶准线性双曲线方程。 事实上，通过将其电流密度定义为动能密度：

它可以放入电流密度均匀的形式：

保守方程的解可以通过特征方法构建。 该方法产生如果X（t）是普通微分方程的解:

结论：，这是一个隐含的关系，决定了不含相关伯格斯方程式的解。 如果特征相交，则不存在PDE的经典解决方案。

粘性伯格斯方程4：

粘性伯格斯方程可以通过Cole-Hopf变换线性化。

将其转化为方程式，可以将其与x相集成，

其中f（t）是取决于边界条件的函数。 如果f（t）= 0相同（例如，如果问题要在周期性域上解决），那么我们得到扩散方程。

扩散方程可以解决，Cole-Hopf变换反演，得到伯格斯方程的解：