[科普中国]-单元刚度矩阵

有限元法是计算固体力学的常用方法，其基本思想是将研究对象解耦成几个单元分别分析。其中，在对单元体进行力学特性计算的时候，单元刚度矩阵（element stiffness matrix）将力与变形联系起来，是非常重要的系数矩阵。

1考虑到应变与位移的关系以及广义虎克定律,并代入虚功原理,可以得到有限元分析的基本方程:[K]{D}={R}(2)其中,[K]=A[B]T[D][B]J|tdξdη 称为刚度矩阵,{R}=∫Γ[N]T{F}|J|dξdη 称为节点载荷向量

2、式中[K]称为刚度矩阵,{D}为需要求解的节点位移向量,{R}反映的是外界荷载及约束的影响.同其它线弹性结构有限元软件一样,钢岔管有限元程序最终也是归结为求解该线性代数方程组

刚度矩阵和刚度差不多 就是把刚度变到了多维 比考虑了在多维的情况下 各个维度的相关性。单元刚度矩阵在有限元的概念，把物体离散为多个单元分析，每个单元的刚度矩阵，也就是单元刚度矩阵简称单刚。

胡克定律与刚度矩阵若弹簧刚度系数为 ，受力为，变形量为，则 ，这就是著名的胡克定律（Hooke's law）。1

刚度是表示物质形变能力的一个量，也就是说物体抵抗变形的能力，其元素值为单位位移所引起的节点力，与普通弹簧的刚度系数具有同样的物理本质。或者说，是物体产生单位的位移所需要加载的载荷量。刚度矩阵和刚度概念相似，就是把刚度变到了多维 比考虑了在多维的情况下 各个维度的相关性。

在有限元方法中，由于同一变形会由几个不同的外力产生，而且对一个单元而言外力与位移都可能有多个，分别对应于不同节点，并按照一定的关系耦合在一起，因此可以将胡克定律写为矩阵的形式。

如图，对于编号为e，两端自由的弹簧单元，刚度为，两节点编号分别为。则很容易写出矩阵形式的胡克定律：

更一般的形式为：

其中，为单元e的单元刚度矩阵，为节点位移矩阵，为节点力矩阵。

多维问题的单元刚度矩阵胡克定律可以推广到任意线性系统，来描述受力与位移的关系，且表达式形式不变。都可用上面的一般形式来表示，但力与位移都可能是多维的。下面，以二维轴力杆件为例，介绍一下多维刚度矩阵2。

如图，为编号e的二维轴力杆件，参数如图，杆件与x轴夹角为，节点i，j 的坐标分别为和，分别表示x，y方向的力，U，V分别表示x，y方向的位移。

受力后杆件的长度变化为：

由弹性力学关系：

其中，。

再根据力的分解关系与力的平衡条件：

可以得到力与位移关系矩阵：

其中位移矩阵前的系数为多维单元刚度矩阵。

性质应用由于矩阵的可叠加性，可以由单元的力与位移关系矩阵叠加得到整个系统的关系矩阵，其中位移矩阵前的系数就是整个系统的刚度矩阵。

单元刚度矩阵可以将复杂的力与变形的关系用一个矩阵简洁直观的表示出来，从而方便了编程计算，因此，求得单元刚度矩阵是有限元方法解决弹性力学问题的重要步骤之一，具有重要意义。