[科普中国]-运动方程

定义

运动方程是描述结构中力与位移(包括速度和加速度)关系的数学表达式。

单质点体系的运动方程：

多自由度体系的运动方程：

运动方程的建立方法运动方程建立主要由以下五种方法，以 右图的单质点体系运动为例。

牛顿第二定律

根据单质点体系的受力分析可以直接写出该单质点体系的运动方程：

牛顿第二定律的优点：

牛顿第二定律是基于物理学中已有知识的直接应用，以人们最容易接受的力学知识建立体系的运动方程。

D’Alembert原理（直接动力平衡法）在体系运动的任一瞬时，如果除了实际作用结构的主动力（包括阻尼力）和约束反力外，再加上（假想的）惯性力，则在该时刻体系将处于假想的平衡状态（动力平衡）。

其中，。

D’Alembert原理的优点：****

静力问题是人们所熟悉的，有了D’Alembert 原理之后，形式上动力问题就变成了静力问题，静力问题中用来建立控制方程的方法，都可以用于建立动力问题的平衡方程，使对动力问题的思考有一定的简化。对很多问题，D’Alembert原理是用于建立运动方程的最直接、最简便的方法，建立了动力平衡（简称：动平衡）的概念。

虚位移原理虚位移原理：在一组外力作用下的平衡系统发生一个虚位移时，外力在虚位移上所做的虚功总和恒等于零。

虚位移是指满足体系约束条件的无限小位移。设体系发生一个虚位移du，则平衡力系在du上做的总虚功为：

其中，。

虚位移原理的优点：

虚位移原理是建立在对虚功分析的基础之上，而虚功是一个标量，可以按代数方式运算，因而比Newton第二定律，或D’Alembert原理中需要采用的矢量运算更简便。

Hamilton原理可以应用变分法（原理）建立结构体系的运动方程。在数学上，变分问题就是求泛函的极值问题。在这里，泛函就是结构体系中的能量（功）。

体系的平衡位置是体系的稳定位置，在稳定位置，体系的能量取得极值,一般是极小值。

Hamilton原理：在任意时间区段[t1, t2]内，体系的动能和位能的变分加上非保守力做功的变分等于0。

其中：

——体系的总动能；

—— 体系的位能，包括应变能及任何保守力的势能；

——作用于体系上非保守力(包括阻尼力及任意外荷载)所做的功；

——在指定时间段内所取的变分。

Hamilton原理的优点：

不明显使用惯性力和弹性力，而分别用对动能和位能的变分代替。因而对这两项来讲，仅涉及处理纯的标量，即能量。而在虚位移中，尽管虚功本身是标量，但用来计算虚功的力和虚位移则都是矢量。

Lagrange方程Hamilton原理是一种积分形式的动力问题的变分方法，实际还有另外与之等价的微分形式的动力问题的变分原理，就是运动的Lagrange方程，其表达式如下：

其中：

—— 体系的动能；

—— 体系的位能，包括应变能及任何保守力的势能；

——与相应的非保守力（包括阻尼力及任意外荷载）。

Lagrange方程的优点：

得到更多的应用，它和Hamilton原理一样，除非保守力（阻尼力）外，是一个完全的标量分析方法，不必直接分析惯性力和保守力（主要是弹性恢复力），而惯性力和弹性恢复力是建立运动方程时最为困难的处理对象。1