[科普中国]-菲克定律

简述

菲克定律包括两个内容：

（1）早在1855年，菲克就提出了：在单位时间内通过垂直于扩散方向的单位截面积的扩散物质流量（称为扩散通量Diffusion flux，用J表示）与该截面处的浓度梯度(Concentration gradient)成正比，也就是说，浓度梯度越大，扩散通量越大。这就是菲克第一定律。

（2）菲克第二定律是在第一定律的基础上推导出来的。菲克第二定律指出，在非稳态扩散过程中，在距离x处，浓度随时间的变化率等于该处的扩散通量随距离变化率的负值。

菲克第一定律1858年，菲克参照傅里叶于1822年建立的热传导方程，建立了描述物质从高浓度区向低浓度区迁移的扩散方程。

在单位时间内通过垂直于扩散方向的单位截面积的扩散物质流量（称为扩散通量Diffusion flux，用J表示）与该截面处的浓度梯度(Concentration gradient)成正比，也就是说，浓度梯度越大，扩散通量越大。数学表达式如下：

式中， D称为扩散系数(m²/s)，C为扩散物质（组元）的体积浓度(原子数/m³或kg/m³)，∂C/∂x为浓度梯度，“–”号表示扩散方向为浓度梯度的反方向，即扩散组元由高浓度区向低浓度区扩散。扩散通量J的单位是kg / m^2·s。

对于三维的扩散体系，作为矢量的扩散通量J可分解为x、y、z坐标轴方向上的三个分量Jx、Jy、Jz此时扩散通量可写成：

或者

其中，i、j、k表示x、y、z方向的单位矢量。J为扩散通量，为一个三维向量场，D为扩散系数，为一个二阶张量，C为浓度，为一个数量场，▽为梯度算子。

上面两个式子为菲克第一定律的数学表达式，它是描述扩散现象的基本方程。菲克第一定律指出：在任何浓度梯度驱动的扩散体系中，物质将沿起其浓度场决定的负梯度方向进行扩散，其扩散流大小与浓度梯度成正比。值得注意的是，扩散方程是描述宏观扩散现象的唯象关系式，其中并不涉及扩散系统内部原子运动的微观过程，扩散系数反映了扩散系统的特性。扩散方程中浓度C是位置和时间的函数，扩散系数D理论上是一个含有9个分量的二阶张量，与扩散系统的结构对称性密切相关。2

费克第二定律扩散物质在扩散介质中的浓度分布随时间发生变化的扩散常称为不稳定扩散，其扩散通量随位置与时间变化。对于不稳定扩散，可以从物质的平衡关系着手，建立第二扩散微分方程式。

菲克第二定律是在第一定律的基础上推导出来的。菲克第二定律指出，在非稳态扩散过程中，在距离x处，浓度随时间的变化率等于该处的扩散通量随距离变化率的负值，得

这就是费克第二定律的数学表达式。如果扩散系数D随坐标x变化不大，可近似看成常数，则该式可以写成

上式中，C为扩散物质的体积浓度(kg/m^3), t为扩散时间(s), x为距离(m)。实际上，固溶体中溶质原子的扩散系数D是随浓度变化的，为了使求解扩散方程简单些，往往近似地把D看作恒量处理。

对于各向同性的三维扩散体系，菲克第二扩散方程可写为：

对于球对称扩散，上式可变换为极坐标表达式：

菲克第二扩散方程描述了不稳定扩散条件下介质中各点物质浓度由于扩散而发生的变化。根据各种具体的起始条件和边界条件，对菲克第二扩散方程进行求解，便可得到相应体系物质浓度随时间、位置变化的规律。2

应用菲克定律里的稳态扩散和非稳态扩散

菲克第一定律只适应于J和C不随时间变化——稳态扩散(Steady-state diffusion)的场合。所谓稳定扩散是指扩散过程中扩散物质的浓度分布不随时间变化的扩散过程，这类问题可直接用菲克第一定律解决。对于稳态扩散也可以描述为：在扩散过程中，各处的扩散组元的浓度C只随距离x变化，而不随时间t变化，每一时刻从前边扩散来多少原子，就向后边扩散走多少原子，没有盈亏，所以浓度不随时间变化。

实际上，大多数扩散过程都是在非稳态条件下进行的。

不稳定扩散是指扩散过程中扩散物质的浓度分布随时间变化的一类扩散过程。典型不稳定扩散中典型的边界条件可分为两种情况：第一种情况是在整个扩散中扩散质点在晶体表面的浓度C0保持不变；第二种情况是一定量的扩散物质Q由表面向内部扩散。

不稳定扩散(Nonsteady-state diffusion)的特点是：在扩散过程中，J随时间和距离变化。通过各处的扩散通量J随着距离x在变化，而稳态扩散的扩散通量则处处相等，不随时间而发生变化。对于非稳态扩散，就要应用菲克第二定律了。2