[科普中国]-阻尼矩阵

简介

结构的质量矩阵M和刚度矩阵K是由单元质量矩阵m和单元刚度矩Me经过集合而建立起来的。相对来说，阻尼问题比较复杂，结构的阻尼矩阵C不是由单元阻尼矩阵经过集合而得到的，而是根据已有的实测资料，由振动过程中结构整体的能量消耗来决定阻尼矩阵的近似值。可以建立单自由度体系的阻尼矩阵和多自由度体系的阻尼矩阵。

结构动力学方程主要采用振型叠加法和直接积分法。前者用到振型正交条件，但不同的振型之间不能解耦时，应采用直接积分法求解。而两者都必须考虑阻尼的影响。1

计及阻尼影响的结构动力学方程如下：

式中，[C]为阻尼矩阵；是随时间变化的速度矢量。单元阻尼矩阵[C]的表达式为

上式所表达的单元阻尼矩阵是基于和一致质量矩阵同样的处理方式，因而可称为一致阻尼矩阵，它假定阻尼力正比于质点的运动速度，这时单元的阻尼矩阵比例于单元质量矩阵。

对于比例于应变速度的阻尼，阻尼力可表示为，则单元阻尼矩阵为

该单元阻尼矩阵比例于单元刚度矩阵。

由于动力系统的振型对于[M]和[K]是正交的，因此固有振型对比例于[M]和[K]的阻尼矩阵[C]也是正交的，这种阻尼矩阵称为比例阻尼或振型阻尼矩阵。利用比例阻尼的好处是进行动力问题分析时的各自由度之间可以解耦，从而方便问题的求解。

更一般地，可以将结构的阻尼简化成[M]和[K]的线性组合，即

其中，α和β是阻尼常数。2

单元阻尼矩阵的求取相比而言，结构的阻尼问题较为复杂。在地震波传播过程中，阻尼问题再宏观上表现为：结构在传递地震动能量的同时也消耗了部分能量；在微观上可理解为材料内部的摩擦耗能和结构内部潜在的接触面耗能。由于结构波动过程中各种类型的能量耗散机理负责，在一般情况下，实际结构在特定外荷载作用下能够产生多大的阻尼效应难以事先估计。以下采用瑞利阻尼（Rayleigh Damping）求取单元阻尼矩阵：

式中：α和β为系数，通过选择合适的α和β系数，可使叠加后得到的阻尼比在较大的频率范围内基本保持定值，即与频率无关，可以基本上反映出岩土体的频率无关性。α和β可根据下式进行计算：

式中，为阻尼比，对于岩土体取值范围为0.02~0.05；ω为中心频率。

综上，与三维有限元静力计算相比，在构造系统运动方程时，动力计算仅需在静力分析的基础上求取质量矩阵和阻尼矩阵。同时，根据瑞利阻尼的特点，可不需要专门计算和存储阻尼矩阵。3