[科普中国]-对流扩散方程

概述

对流扩散方程表征了流动系统的质量传递规律，求解此方程可得出浓度分布。此方程系通过对系统中某空间微元体进行物料衡算而得。对于双组分系统，A组分流入某微元体的量，加上在此微元体内因化学反应生成的量，减去其流出量,即为此微元体中组分A的积累量。考虑到组分A进入和离开微元体均由扩散和对流两种作用造成,而扩散通量是用斐克定律（见分子扩散）表述的，于是可得如下的对流扩散方程：

式中DAB为组分A在组分B中的分子扩散系数;rA为单位时间单位体积空间内因化学反应生成组分A的量;CA为组分A的质量浓度；τ为时间；ux、uy和uz分别为流速u的三个分量。上述方程表明，传质与流动密切相关；只有解得速度分布之后，才能从对流扩散方程解得浓度分布，进而求得传质通量。2

背景对流扩散方程作为偏微分方程一个很重要的分支，在众多领域都有着广泛的应用，如流体力学，气体动力学等由于对流扩散方程很难通过解析的方法得到解析解，所以通过各种数值方法来求解对流扩散方程在数值分析中占有很重要的地位在对流扩散方程中，若扩散项在物理过程中起主导作用则用标准有限差分方法以及有限元方法求解就可以得到很好的数值结果但是，若对流项是占主导地位，即对流的影响远大于扩散的影响，则会给数值求解带来很多困难，如数值震荡，数值的过度扩散，或者是二者皆有在处理对流占优的对流扩散方程的数值方法中，很重要的一类方法就是特征线法。这一方法考虑沿特征线（流动方向）作离散，利用对流扩散问题的物理学特征，对于处理具有双曲性质的对流占优扩散问题具有无可比拟的优越性它不仅可以从本质上减少非物理震荡和过多的数值弥散，而且对时间步长没有稳定性限制条件并且沿特征方向的导数值远比沿时问方向相应的导数值小。

对于特征线法，前人已经有了很多数学上的分析以及实际应用上的研究工作上世纪六十年代人们构造了向前追踪的特征线方法（直到近年来，人们还在不断的改进这一方法，并将它们广泛的应用到许多实际问题这类方法对于相对简单的问题比较容易实现，但是沿特征线向前追踪扭曲了原有空间网格，给计算带来了很多不便年和在中提出了沿特征线向后追踪的修正特征线法，克服了原有特征线法的缺点这种方法也得到了广泛的应用。

求解解析解一维的对流扩散方程是有解析解的。

二维在特定边界条件下可以求得解析解。

数值解对流扩散问题的有效数值解法一直是计算数学中重要的研究内容，求解对流扩散方程的数值方法主要是有限差分法(FDM)、有限元法(FEM)、有限体积法(FVM)、有限解析法(FAM)、边界元法(BEM)、谱方法(SM)

等多种方法。但是对于对流占优问题，用通常的差分法或有限元法进行求解将出现数值震荡。

为了克服数值震荡，80年代，J.Douglas,Jr.和T.F.Russell等提出特征修正技术求解对流扩散占优的对流扩散问题，与其它方法相结合，提出了特征有限元方法、特征有限差分方法、特征混合元方法；T.J.Hughes和A.Brooks提出过一种沿流线方向附加人工黏性的间断有限元法，称为流线扩散方法(SDM)。有限差分法、有限元法、有限体积法是工程应用中的主要方法。3

特点对流扩散方程右端第一项为扩散项，左端第二项则是对流项。由于其方程本身的特点，给建立准确有效的数值求解方法带来一定的困难。对流和扩散给流体中由流体携带的某种物理量的变化过程，可以通过一个无量纲的特征参数(Peclet数)来描述，Peclet数Pe的定义为：Pe=|ν|L/D。这里v是对流速度，L是特征长度，D是物质的扩散系数。如果Pe数较小，即对流效应相对较弱，这类问题中，扩散占主导地位，方程是椭圆型或抛物线型；如果Pe数较大，即溶质分子的扩散相对于流体速度而言是缓慢的，这类问题中，对流占优，方程具有双曲型方程的特点。

对于对流占优问题的求解，采用常规的Galerkin有限元方法，为了避免求解结果产生数值振荡，获得稳定解，则应使每个单元的局部Peclet数，Peh=|ν|h/D≤2，这里h为单元的最大尺寸，|v|为单元中的最大速度分量值。因此，用本文方法求解对流占优对流扩散问题，要得到稳定解，则要通过加密有限元网格来实现。

对流扩散方程的特征有限元法用有限元方法求解依赖于时间的问题，通常的做法是在空间区域上采用有限元方法，而在时间方向上采用有限差分格式以往人们提出的算法大都是限制在空间区域的固定有限元网格上然而，在许多实际问题中，往往需要在不同的时问层采用不同的有限元空间例如，火焰的传播，油水前沿面问题等因此，许多数学家和工程师都把目光放在采用动态有限元空间这一方法上，而且也提出了许多动态有限元方法梁国平在给出了一般抛物问题的变网格有限元方法，这种方法的主要思路是根据需要对不同的时间层采用不同的空间网格，并把上一时间层的近似解投影到当前时间层然后作为当前层的初始值；而后又基于坐标变换的思想，提出了适用于任何维数的一般抛物方程以及任何网格的非柱形区域的变网格有限元离散格式杨道奇对抛物问题提出了变网格混合元方法，随后又将该方法推广到多孔介质可混溶驱动问题袁益让教授讨论了非线性对流扩散问题的变网格方法。

众所周知，特征线方法对于处理具有双曲性质的对流占优扩散问题具有无可比拟的优越性它不仅可以从本质上减少非物理震荡和过多的数值弥散，而且对时间步长没有稳定性限制条件，并且解沿特征方向的导数值远比沿时间方向相应的导数值小两洪兴和在年建立了一种新的特征线方法这种计算格式在时间步长上具有二阶精度，并且是对称的和无条件稳定的这一章中，我们将这种二阶特征线法与变网格有限元法相结合来给出相应的结论。4