[科普中国]-应变能密度

简介

单位体积的弹性应变能称为弹性应变能密度。1

弹性应变能和应变能密度弹性体受外力作用后，不可避免地要产生变形，同时外力的势能也要产生变化。根据热力学的观点，外力所做的功，一部分将转化为弹性体的动能，一部分将转化为内能；同时，在物体变形过程中，它的温度也将发生变化，或者从外界吸收热量，或者向外界发散热量。现分析弹性体内任一有限部分∑的外力功和内能的变化关系，设弹性体内取出部分Σ的闭合表面为S，它所包围的体积为V。以δW表示外力由于微小位移增量在取出部分Σ上所作的功，δU表示在该微小变形过程中取出部分Σ的内能增量，δK表示动能增量，δQ表示热量的变化（表示为功的单位），根据热力学第一定律，则有

我们首先假设弹性体的变形过程是绝热的，也就是假设在变形过程中系统没有热量的得失。再假设弹性体在外力作用下的变形过程是一个缓慢的过程，在这个过程中，荷载施加得足够慢，弹性体随时处于平衡状态，而且动能变化可以忽略不计（这样的加载过程称为准静态加载过程），则根据上式表示的热力学第一定律，外力在变形过程中所做的功将全部转化为内能储存在弹性体内部。这种贮存在弹性体内部的能量是因变形而获得的，故称之为弹性变形能或弹性应变能。由于弹性变形是一个没有能量耗散的可逆过程，所以，卸载后，弹性应变能将全部释放出来。下面，推导单位体积弹性应变能的表达式。

仍以X、Y、Z表示单位体积的外力，表示作用在弹性体内取出部分Σ表面上单位面积的内力。对上述的准静态加载过程，可以认为弹性体在外力作用下始终处于平衡状态。外力所作的功W包含两个部分：一部分是体力X、Y、Z所作的功W1，另一部分是面力所作的功W2，它们分别为

故

因此，外力由于微小位移增量在取出部分Σ上所作的功δW 可以表示为

将平衡微分方程和静力边界条件代入上式，并利用散度定理，上式可化为

最终可推得相应的内能增量δU为

定义函数u0(εij)，使之满足

该定义式称为格林（Green）公式。

则有。

由上式可以看出，函数u0(εij)表示单位体积的弹性应变能，故称之为弹性应变能密度函数（或弹性应变比能函数），简称为应变能。由于弹性应变能密度函数表示弹性体的内能概念，因此，它必然是一个势函数，故也称之为弹性势函数。

对取积分可得

这里，u0(εij)和u0(0)分别表示物体变形之后和未变形时的弹性应变能密度。通常，取u0(0)=0，于是有

根据格林公式，假如u0(εij)的具体函数形式能够确定的话，那么，弹性体的应力与应变之间的关系也就完全确定了。这表明，弹性应变能密度函数是弹性材料本构关系的另一种表达形式。2

轴向拉压杆的应变能和应变能密度

应变能：。

应变能密度：杆件应变能与杆件体积之比。

应变能 —— 是杆件参数，与杆件变形有关。

应变能密度 —— 与杆件无关，只与应力状态有关。3

三向应力状态的应变能密度

应变能密度=体积改变能密度+形状改变能密度。

体积改变能密度：

形状改变能密度：