[科普中国]-切线刚度矩阵

概念

切线刚度阵是广义力对广义位移的一阶导数，即应力应变曲线的切线，对于非线性材料无法得到准确的刚度矩阵，可以用切线刚度矩阵代替。

非线性稳定性分析中常用到割线刚度矩阵与切线刚度矩阵，其中，前者用于全量形式的平衡方程，后者用于增量形式的平衡方程。切线刚度矩阵常用于判断临界点的稳定性和对临界点进行分类。基于有限元法，考虑了结构可能存在初始缺陷的情况，从结构的能量表达式出发，推导了二者之间的数学关系。具体做法是：针对具有任意多自由度和任意参数变量（如任意荷载或初始缺陷）的结构，从结构的通用总势能泰勒级数展开式出发，推导得出结构的切线刚度矩阵和割线刚度矩阵之间的数量关系。

基本原理注意到 ，由 式子积分得到 ，而由 式子可求得 ，又由 式子，则有：

由 式子，可得：

注意到 不含 ，由上式得：

将 代入 式子的右端，则：

利用 和 的第二个性质，得：

式中

而 为三阶单位矩阵。

由 式子可得：

将代入式子中，可得：

再将代入式子中，便得到具有对称形式的初应力矩阵。

至此，三维单元的切线刚度矩阵就可由下式求得：