[科普中国]-瑞利阻尼

概念

瑞利（Rayleigh）阻尼简单、方便，因而在结构动力分析中得到了广泛应用。瑞利（Rayleigh）阻尼假设结构的阻尼矩阵是质量矩阵和刚度矩阵的组合，即

其中和是两个比例系数，分别具有 和 的量纲。

结构的振型是关于质量矩阵和刚度矩阵正交的，很容易想到，质量矩阵和刚度矩阵的线性组合必定满足正交条件，因此瑞利（Rayleigh）阻尼是一种正交阻尼。满足振型正交条件的阻尼也称为经典阻尼。在 式子中， 和 是待定的两个常数，可以用实际测量得到的结构阻尼比来确定（实测可直接给出结构的振型阻尼比），或通过给定的两个振型阻尼比的值来确定，为此要把 式子化成由阻尼比表示的形式。1

基本原理将 式子分别左乘振型的转置 和右乘振型 得

其中 、 、 分别是第 阶振型的阻尼系数、振型质量和刚度，其表达式前面已讲，即：

如果假设结构体系的阻尼满足正交条件，并采用振型叠加法求解，则不必构造整体阻尼，而直接采用振型阻尼比 即可，因为实际结构阻尼测量中都是直接给出阻尼比。构造整体阻尼矩阵的目的是用于时域逐步积分分析，这时满足正交条件的假设，或称采用瑞利（Rayleigh）阻尼的目的，一是矩阵构造方便；而是用正交条件来确定系数、。

将公式 和 代入 式子中，得：

如果给定任意两个振型阻尼比（自振频率是已知的），分别代入上式，即得到关于系数和的两个线性代数方程组，可以解得和，则瑞利（Rayleigh）阻尼也就确定了，假设和给定，可写出计算和的矩阵形式

对式子给出的二元一次方程组，可以直接给出其解析表达式

当振型阻尼比时，式子简化为：

采用以上公式，经过简单的运算就可以得到进行结构动力反应计算所需的阻尼矩阵。为保证构造的阻尼矩阵合理、可靠，在确定瑞利（Rayleigh）阻尼的常数和时，必须遵循一定的原则，否则构造的阻尼矩阵可能导致计算结果的严重失真。为此，下面分析瑞利（Rayleigh）阻尼的特点。2

特点将瑞利（Rayleigh）阻尼分成两项，一项与质量矩阵成正比，一项与刚度矩阵成正比，即

式中，；。

相应地，阻尼比也分成两项，与质量矩阵成正比项和与刚度矩阵成正比项，即

式中，；。

当常数和确定后，和仅与有关，图1和图2给出的阻尼比随频率的变化规律曲线。

由图1可见，与质量矩阵成正比的部分当频率趋于零时，变得无穷大，随着频率的增加而迅速变小；与刚度矩阵成正比的部分，则随着频率的增加而线性增加。

由图2可见，瑞利（Rayleigh）阻尼比在两个自振频率和（用于确定瑞利阻尼常数的振型阻尼比对应的自振频率）点处等于给定的阻尼比和相等（这是工程中常用的，一般取各振型阻尼比均相同），则当振动频率在区间之内时，阻尼比将小于或等于给定阻尼比，而当频率在这一区间之外时，其阻尼比均大于给定阻尼比，而且距离越远，阻尼越大。

因此，确定瑞利阻尼的原则是：选择的两个用于确定常数和的频率点和要覆盖结构分析中感兴趣的频段。

感兴趣的频率（频段）的确定要根据作用于结构上的外荷载的频率成分和结构的动力特性综合考虑。

在频段内，阻尼比略小于给定的阻尼比（在，点有）。这样，在该频段内由于计算的阻尼略小于实际阻尼，结构的反应将略大于实际的反应，这样的计算结果对工程而言是安全的。如果和选择的好，则可以保证这种增大程度很小。

在频段以外，其阻尼比将迅速增大，这样频率成分的振动反应会被抑制，其计算值将远远小于实际值，但这一部分不是需要考虑的，或可以忽略的。但是，如果存在对结构设计有重要影响的频率分量，则可能导致严重的不安全。

因此，随意找两个自振频率及相应阻尼比来确定和的方法是不对的，有可能导致严重的误判。3