[科普中国]-两点间距离公式

简介

两点间距离公式常用于函数图形内求两点之间距离、求点的坐标的基本公式，是距离公式之一。两点间距离公式叙述了点和点之间距离的关系。

两点间距离公式的平面坐标形式下面不加证明地给出几个公式。

公式设两个点A、B以及坐标分别为 、 ，则A和B两点之间的距离为：

推论直线上两点间的距离公式：

设直线 的方程为 ，点 ， 为该线上任意两点，则

这一公式即所谓圆锥曲线的弦长公式。若记 为直线AB的倾斜角，则

同时，若已知直线公式和其中一个点，并且给定了距离，可以反求另一个点的坐标。

实例现在有一只工程队要铺设一条网络，连接A，B两城。他们首先要知道两城之间的距离，才能准备材料。他们用全球定位系统将两城的位置在平面直角坐标系中表示出来。现在我们就来试试看能不能帮他们求出A、B两城之间的距离。

在黑板上画出A，B两点，如下图：

那么，我们怎么求出AB之间的距离呢？

我们来试试看，能不能通过添加一些辅助线，来解答问题呢？

首先我们作点A关于X轴的垂线，设垂足为A’，再作B关于Y轴的垂线，设垂足为B’；延长AA’和BB’使之交与C点。

如下图：

显然角C等于90度，这样我们就构造出了一个三角形ABC，而我们要求的AB就在这

个直角三角形上。因此我们是不是可以考虑看看用勾股定理来求出AB呢？

由勾股定理可以得知：

由A（-20,20）和B（20,-10），所以可知C（-20，-10）。现在我们可以将AB平移到Y轴上，设这两个对应的点为N1，N2，所以：

因此可知：

所以。

现在，我们已经求出了A、B两城的距离。现在，我们来思考一个问题：是不是任意两点，只要知道这两点的坐标，就可以求出这两点之间的距离呢？我们能不能找到一个公式来求两点之间的距离呢？

不妨设A（x1,x2），B（x2,y2）。因此可以推出

两点间距离公式的三维坐标形式公式设 ， ，则1

推导过程在三维坐标中，首先计算两点在平面坐标中（即 ， 轴上）的距离，再计算两点在 轴上的垂直距离 。再次用勾股定理，即证。2

两点间距离公式的极坐标形式公式下面不加证明地给出该公式。设极坐标系中两点 ， ，则