[科普中国]-正定二次型

定义

设 ，其中矩阵 是对称阵，即 ， 为列向量，若 ， ，有 ，则称为正定二次型，称实对称矩阵 正定。1

例如，即为正定二次型，其中，。

性质（1） 阶实对称矩阵 正定

的正惯性指数等于

与单位矩阵合同

的顺序主子式大于零

的特征值大于零

的行列式大于零（但行列式大于零的矩阵不一定是正定矩阵）

（2）若 阶实对称矩阵 和 正定， 为实数，则

① （逆）、 （伴随矩阵）、 均正定；

② 正定 ；

③ 正定

判定方法判定二次型(或对称矩阵)为正定的方法有如下两种

行列式法对于给定的二次型，写出它的矩阵，根据对称矩阵的所有顺序主子式是否全大于零来判定二次型 (或对称矩阵)的正定性。

正惯性指数法对于给定的二次型 ，先将化为标准形，然后根据标准形中平方项系数为正的个数是否等于来判定二次型的正定性。

通过正交变换，将二次型化为标准形后，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵的特征值。因此，可先求二次型矩阵的特征值，然后根据大于零的特征值个数是否等于来判定二次型的正定性。2