[科普中国]-角边角公理

三角形

三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。

常见的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。1

若一个三角形的三边分别为a、b、c，则周长 。

面积公式为： （面积=底×高÷2。其中，a是三角形的底，h是底所对应的高）注释：三边均可为底，应理解为：三边与之对应的高的积的一半是三角形的面积。这是面积法求线段长度的基础。

全等三角形简介经过翻转、平移后，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，2而该两个三角形的三条边及三个角都对应相等。全等三角形指两个全等的三角形，它们的三条边及三个角都对应相等。全等三角形是几何中全等之一。根据全等转换，两个全等三角形经过平移、旋转、翻折后，仍旧全等。正常来说，验证两个全等三角形一般用边边边（SSS）、边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS）、和直角三角形的斜边，直角边（HL）来判定。

性质1．全等三角形的对应角相等。

2．全等三角形的对应边相等。3

3. 能够完全重合的顶点叫对应顶点。

4．全等三角形的对应边上的高对应相等。

5．全等三角形的对应角的角平分线相等。

6．全等三角形的对应边上的中线相等。

7．全等三角形面积和周长相等。

8．全等三角形的对应角的三角函数值相等。

相关教学对于角边角公理的教学过程王嵘分了三个部分:公理的引入，公理的明确，公理的巩固.与教材不同的是，我用一个生活中的实例设计问题情景引入公理.这就是问题一:有一块三角形玻璃碎成如图所示的两块，如果要将其复原，是不是两块都要带去?

面对这样的问题学生有了兴趣而且议论纷纷，答案不一在此时教师应提出问题二:只带一块就行，带哪一块呢？还是随便哪一块都可以？此问题目的一给学生指明方向“一块即可”;目的二将问题深入一层“带哪块去”。这时学生的思维进入活跃状态，讨论也更有针对性，他们或许对答案的选择只是一种感觉“行或不行”。于是教师就要引导学生，指导学生寻求正确的答案。通过画图演示即可一目了然。

走到这里，可能学生认为问题一已得到圆满地解决。就在这个点上，提出问题三:为什么带A可行，B不可行？这就涉及到了问题的本质，也要求学生思维跳跃性地思考。当他们处在欲言不能的状态时，给予提示:“一个三角形六个元素，三条边三个内角，带A去带去了三角形的几个元素，带B去带去了三角形的几个元素？哪几个？学生通过观察比较就会容易地得出答案。问问学生“恢复后的三角形和原三角形全等，那全等的条件是不是就是带去的元素呢？至此学生就可以粗略地概括出角边角的公理。

在以上的过程中非常值得注意的有两点:1，教师的问题要提得恰时恰点，就在学生思维深入的转折点上，如此才能发挥好的作用。2，对于学生，在这个过程中他们的思维经历了“观察—比较—分析—归纳—猜想”的路线.但这并没结束，因为在数学中，猜想需要验证才能说其正确与否，而这也是学生容易忽视的一点。因此在其后的公理明确中教师的任务有两点:一是完善学生对公理的粗略概括，二是和学生一起做实验，根据三角形全等定义对公理进行验证。4

概念角边角公理（ASA）：两个三角形对应的两角及其夹边相等，两个三角形全等。

证明方法对任意△ABC，画一个△A'B'C'，使A'B'=AB，∠A'=∠A，∠B'=∠B：

1. 作A'B'=AB；

2.在A'B'的同旁作∠DA'B'=∠A，∠EB'A'=∠B，A'D，B'E交C.

即得所求。

举例举例：如下图，AB=AC，∠B=∠C，求证△ABE≌△ACD.

证明：在△ABE与△ACD中∠A=∠A，AB=AC，∠B=∠C.

∴△ABE≌△ACD.（ASA）