[科普中国]-合同变换

简介

合同变换，亦称全等变换或正交变换，是欧氏几何中的一类重要变换，即使图形变为其全等图形的变换。如果欧氏平面（平面几何）或欧氏空间（立体几何）的点变换，把任意线段的两个端点变成等长线段的两个端点，则称其为合同变换。合同变换把几何图形变成合同（即全等）图形，保持线段长度不变，保持角度不变，并把直角变成直角。在n维欧氏空间（包括普通平面和空间）中，也把保持两点间距离（即线段长度）不变（因而角度也不变）的点变换称为正交变换或合同变换。正交（合同）变换把欧氏空间中由两两正交的单位向量组成的标准正交基变成标准正交基。1

全等变换有很多种，常见的有旋转、平移、对称（又叫反射）变换等。

平移变换平移变换(translation transformation)简称平移或直移，欧氏几何中的一种重要变换，即在欧氏平面上(欧氏空间中)，把每一点按照已知向量A的方向移到P，如此产生的变换称为平面上(空间中)沿向量A的平移变换，简称平移。

平移是第一种正交变换。平移变换的逆变换也是平移变换，两个平移变换的乘积仍是平移变换。所有平移变换的全体构成一个群，称为平移群。平移变换的概念可以推广到n维欧氏空间。1

对称变换定义若一个平面图形K在平面刚体运动m的作用下仍与原来的图形重合，就说K具有对称性，m叫做K的对称变换。

合成一个平面图形的两个对称变换a与b的合成（先做变换a，再做变换b）仍然是这个平面图形的对称变换，记作b·a。2

性质1、对于任意对称变换a与恒等变换I，都有a·I=I·a。

2、一般地，平面图形的对称变换不满足交换律（除恒等变换外）。

3、平面图形的对称变换满足结合律。2

逆变换1、若两个对称变换a、b满足a·b=b·a=I，那么b（或a）叫做a（或b）的逆变换，记作a^–1=b（或b^–1=a）。

2、b·a的逆变换是a^–1·b^–1。2

多项式的对称变换1、如果一个多项式F经过字母的替换仍与原来的多项式相等，那么就说F具有对称性，上述字母的替换叫做多项式的对称变换。

2、设一个多项式的下标组成的集合为{1,2,3,…,n}，σ是n元对称群Sn中的一个置换，如果对多项式的下标进行置换σ后仍与原来的多项式相等，那么置换σ就叫做多项式的对称变换。

3、如果一个n次多项式的对称变换是Sn中的全部变换，这样的多项式叫做对称多项式。2

旋转变换定义欧氏几何中的一种重要变换。即在欧氏平面上(欧氏空间中)，让每一点P绕一固定点(固定轴线)旋转一个定角，变成另一点P′，如此产生的变换称为平面上(空间中)的旋转变换。此固定点(固定直线)称为旋转中心(旋转轴)，该定角称为旋转角。旋转是第一种正交变换。

在平面内，把一个图形绕点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，旋转的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点Pˊ，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。1

性质①对应点到旋转中心的距离相等（意味着：旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上）。

②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

③旋转前、后的图形全等。

旋转三要素：

①旋转中心；

②旋转方向；

③旋转角度。

注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样。

旋转变换的作图：①确定旋转中心、旋转方向和旋转角度；②找出能确定图形的关键点；③连结图形的关键点与旋转中心，并按旋转的方向分别将它们旋转一个角，得到此关键点的对应点；④按原图形的顺序连结这些对应点，所得图形就是旋转后的图形。1

合同变换的性质1、在合同变换下，直线变为直线，线段变为线段，射线变为射线；两直线的平行性、垂直性，所成的角度都不变；共线点变为共线点，且保持顺序关系不变；直线上A、B、C三点的简比AC：BC不变。

2、在合同变换下，三角形、多边形和圆分别变为与它们全等的三角形、多边形和圆；封闭图形的面积不变。比如：平移，旋转，镜像对称。1

矩阵的合同变换设A，B都是数域F上的n阶矩阵，如果存在数域F上的一个n阶可逆矩阵P，使得PTAP=B， 那么就说，在数域F上B与A合同。3