[科普中国]-三面角

定义

从一点出发并且不在同一平面内的三条射线，其中每相邻两射线可以决定一个平面，这样的三个平面所围成的立体图形叫做三面角。

其中，这三条射线叫做三面角的棱，这些射线的公共端点叫做三面角的顶点，相邻两棱所夹的平面部分叫做三面角的面，在每个面内两条棱所形成的角叫做三面角的面角，过每一条棱的两个面所形成的二面角叫做三面角的二面角。

一个三面角可以用它的顶点的字母来表示，例如“三面角S”；或在顶点的字母之后加一短划，并顺次写上每一条棱上的一个字母，例如“三面角S-ABC”。

三面角的任何一个面角小于其他两个面角的和，而大于其他两个面角的差。并且，它的三个面角的和小于四个直角。2

概念三面角中，也有如下的一些特殊名称：

1.有两个面角相等的三面角，称为等腰三面角；三个面皆相等的三面角，称为等面i面角或正三面角。

2.三个面角都是直角的三面角，称为直三面角。

3.依次规定三面角的棱的绕向顺序的三面角称为有向三面角。截口三角形是逆时针绕向时，称为正向三面角，否则称为负向三面角。

4.延长二面角的三棱得一新三面角，称为原三角的对顶三面角。

5.两个三面角的对应面角相等，对应二面角相等时，称它们相等；两个相等的三面角同向f时，称两个三面角角相等或全等。3

性质1、三面角的任意两个面角的和大于第三个面角。

2、三面角的三个二面角的和大于180°，小于540°。

3.用三个小于π的正角作为面角，构成一个三面角的充要条件是：这三个面角的和小于2π，并且其中一个面角小于其它两面角的和，大于其它两面角的差。

4.三面角的两个面角相等的充要条件是这两个面角所对的两个二面角相等。

5.三面角中，一面角和它相对的二面角相等或相补，则另外两个面角与其相对的二面角也相等或相补。

6.三面角的两个二面角相等时，较大的二面角所对的面角也较大，反之亦真。

7.三面角的各棱与对面所成的三面之和比三个三面角之和小，比三个面角之和之半大。

8.由三面角顶点出发且在三面角内部的一条射线和三条棱所夹的三角之和，小于三个面角之和，而大于三个面角之和之半。

9.三面角中的下列面共线：

(I)过三面角各面角的平分线且垂直于该平面的三个平面共线；

(II)三面角的各棱与它所对的面角的平分线所确定的三个平面共线；

(Ⅲ)过三面角的各棱并且和它所对的面垂直的三个平面共线；

(Ⅳ)三面角各二面角的平分面，或一个二面角的平分面与另外两个二面角的补二面角的平分面共线。

10.三面角中的下列线共面：

(I)通过顶点在每一面所在平面上引直线垂直于对棱，这样的三条直线共面；

(II)在每个二面角的补二面角的平分面上，通过顶点且垂直于这二面角的棱引直线，则此三条直线共面，这个平面与三面角的三面成等二面角。

(Ⅲ)各面角的补角的平分线共面；两个面角的平分线和第三个面角的补角的平分线也共面。这样得到的每个平面与三面角的三棱成等角。

11.在两个三面角中，

(I)三个面角时应相等，则这两个三面角相等；

(II)两个二面角及其所夹面角对应相等，则这两个三面角相等；

(Ⅲ)三个二面角对应相等，则这两个三面角相等；

(Ⅳ)两个面角及其所夹二面角对应相等，则这两个三面角相等；

(V)两个面角对应相等，而它们所夹二面角不等，则第三个面角也不等，大的二面角所对的面角也较大。3