[科普中国]-理想

理想(ideal)（环论）

环R的一个非空子集I ，如果对于R的两个代数运算，满足条件：对任意a,b∈I,r∈R,有a-b∈I,ra∈I，则称 I 是环R的一个左理想。类似有右理想定义。

环R的一个非空集合I，如果对于R的两个代数运算，满足条件：对任意a,b∈I,r∈R,有a-b∈I,ar∈I，则称 I 是环R的一个右理想。

环R的一个非空子集I，如果既是左理想又是右理想，称I为R的双边理想，通常简称I为R的理想。1

理想 (序理论)序理论中理想的最一般的定义如下：

偏序集合(P,≤)的非空子集 I 称为一个理想，若 I 满足：

I是下闭的。即，∀x ∈ I, y ∈ P, y ≤ x ⇒ y ∈ I。

I是有向的。即，∀x,y ∈ I，∃z ∈ I，使 x ≤ z，y ≤ z。

理想最初只在格上定义。与上述定义等价的定义如下： 格(P,≤)的非空子集 I 是理想，当且仅当：

I是下闭的。

I对于有限并(上确界)运算封闭，即，∀x,y ∈ I，有x ∨ y ∈ I。1

理想（代数数论）亦称分式理想，是理想概念的推广。设R为一整环，K为其商域（分式域），M K是R模。若存在非0的c∈R使cM={cm|m∈M} R，则称M为分式理想。通常的理想（又称整理想）也是分式理想。戴德金环的分式理想全体构成一个乘法阿贝尔群，由其素理想生成。2

理想（集合论）在集合论中，理想是一种特殊的集族。它与滤子相对偶。零S是一非空集，S上的理想F是由S的子集所组成的集族。它满足下列条件：

1、 ，且 ；

2、若X∈F，且Y∈F，则X∪Y∈F；

3、若Y∈F，且X Y，则X∈F；

S上的理想F'被称为素理想，如果对每个XS，有X∈F'或S-X∈F'。

理想概念是斯通（Stone，M.H.）于1934年提出的。3