[科普中国]-三角多项式

简介

在数学中，三角多项式是一类基于三角函数的函数的总称。三角多项式是可以表示成有限个正弦函数sin(nx) 和余弦函数cos(nx) 的和的函数，其中的x 是变量，而n 是一个自然数。三角多项式中每一项的系数可以是实数或者复数。如果系数是复数的话，那么这个三角多项式是一个傅里叶级数。

三角多项式在许多数学分支，如数学分析和数值分析中都有应用，例如在傅里叶分析中，三角多项式被用于傅里叶级数的表示，在三角插值法中，三角多项式被用于逼近周期性函数。

定义形如

的多项式，式中系数，为任意给定的实数，不全为零。称为此三角多项式的阶数。任何一个三角多项式都是周期的周期函数，因此对于三角多项式的研究往往只要在长为的半开区间中进行。任何两个三角多项式的和、差、积仍然是个三角多项式，而且,若与分别为阶与阶三角多项式，且，则是个阶不超过的三角多项式，是阶为的三角多项式。利用欧拉公式

其中，

任意一个阶三角多项式都可写成：

式中

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阶三角多项式在任一长为的半开区间中，最多只有个零点。因此,若两个阶三角多项式在长为的半开区间中有个点处取值相同，则此两个三角多项式完全相同。

对于阶三角多项式，记

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常称为Tn的Lp范数，若1≤p≤p┡≤∞，则

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此外还有如下的尼科利斯基不等式

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特别有

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伯恩斯坦不等式设Tn(x)是n阶三角多项式,Tń(x)是它的导数，则有不等式

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这是1912年С.Η.伯恩斯坦发现的，称为伯恩斯坦不等式。其中系数n不能再减小，例如对任何常数A及α，Tn(x)=A sin(nx+α)都使它成等式。伯恩斯坦不等式在函数逼近论中起着重要的作用,并且有着各种拓广。例如,С.Б.斯捷奇金于1948年证明,对任何n阶三角多项式Tn(x)及自然数k1，都有

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共轭三角多项式对给定的n阶三角多项式Tn(x)，记

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称为Tn(x)的共轭三角多项式。对于共轭三角多项式的导数有不等式

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这里系数n也是不能减小的。

应该指出,对于复系数三角多项式Tn(x)（即诸系数αk,bk为复数），同样有

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于是，对于自然数k，有

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应用自然,三角多项式是一类简单的周期函数,但是，它是近似表示一般的周期函数的有效工具，随着三角多项式的阶的增高，任何连续的周期函数都可以借助于三角多项逼近到预先给定的程度。反之如果已知这种逼近程度的收敛于零的速度，也就有可能推出被逼近函数的构造性质,这个事实本身是有着深刻的物理意义的,周期运动的分解便是一个明显的例证。三角多项式是在其他数学、物理、力学等领域中有着广泛的应用。