[科普中国]-三角学

概述

三角学(trigonometry)数学的一门分科，包括平面三角学和球面三角学。平面三角学研究三角函数的性质和图象、三角函数式的恒等变换、解三角形等。球面三众学研究球面三角形的边角关系，以及由球面三角形的三个巳知基本元素，计算它的未知基本元素的问题。三角学在高等数学、天文学、物理学、测量学以及航海等方面都有广泛的应用。

以研究平面三角形和球面三角形的边和角的关系为基础，达到测量上的应用为目的一门学科。同时，三角学还研究三角函数的性质以及它们的应用。1

研究三角函数的、属于分析学的一个分支。三角学输入我国，开始于明代崇祯四年(1631年)，这一年徐光启等合编了我国第一部三角学《大测》。清朝初年，数学家梅文鼎编写了《平三角举要》和《弧三角举要》各五卷，这是当时两部较好的入门书籍。2

三角学既可以在欧几里得几何学中考虑，亦可在非欧几何学中考虑，欧几里得空间中球面上的三角学称为球面三角学。

起源

“三角学”一词源于希腊文“三角形”和“测量”两词的组合，原意为三角形的测量，或者说解三角形。3它从最初研究到最后的学说确立，经历了很长的时间。

三角学最初并不是独立发展的，它是在早期人们的天文、航海应用中逐渐形成的。最早研究三角学的是古希腊人，那时他们为了计算航海路线和根据天体运行来推演日历，开始研究三角形的边与角的关系。而根据实际需要，最先发展的是球面三角形的理论。那时的古希腊人就已经研究出了一些三角形定理，比如相等的两边对应的角相等、两边之和大于第三边等。在数学界，人们大都认为是希腊天文学家喜帕恰斯创立了三角学。他曾有12卷关于三角学的著作，并制作出了弦表。4

公元元年以后，在亚历山大，数学研究还在继续着，但人们对这门学科本身的兴趣在逐渐减退，它逐渐成了其他学科尤其是天文学的辅助学科。这个时期的著名人物是托勒密(克罗狄·托勒密)，他于公元2世纪中叶享有盛名。他的著作《大汇编》，后来人们称为《至大论》主要是天文学方面的论著。但是它在数学史中很重要，因为它可以说是三角学最早的系统性论著。有充分的理由相信，在《至大论》一书中，很多内容都是喜帕恰斯所知道的，而托勒密很可能也熟悉梅内克缪斯的《球面几何学》(Spharica)，后者有相当篇幅讨论到球面三角形的性质。

三角学这门科学是从确定平面三角形和球面三角形的边和角的关系开始的。很可能埃及人早已发现三角形的不同元素之间具有某种关连，但首先看到有必要建立三角形的边与角之间的精确关系的乃是希腊人。托勒密在天文学上的研究要求建立某些能精确确定这些关系的规则，正是为了改善天文计算，三角学才应运而生。因此，球面三角学的研究先于平面三角学。这些规则，有许多可在《至大论》一书的第一卷中找到。

三角学在波伊尔巴赫(1423—1461)、雷格蒙塔努斯(原名约翰·缪勒)、雷蒂库斯和皮蒂斯楚斯(1561——1613)等人手中获得了进一步的发展。5

基础理论1.三角测量

三角测量是指在导航、测量及土木工程中精确测量距离和角度的技术，主要用于为船只或飞机定位。它的原理是：如已知三角形的一边及两角，则其余的两边一角可用平面三角学的方法计算出来。在西方，古希腊著名数学家毕达哥拉斯首次证明了有关直角三角形的“毕达哥拉斯定理”，即中国的“勾股定理”，对于几何学研究及其应用做出了巨大贡献。

三角测量是按三角原理布设平面控制网的各种方法。三角测量包括三边测量、边角测量及交会测量等方法，是测量中建立平面控制网的一种主要方法。系指按一定要求在地面选定若干个点(三角点)，构成由相互连接的三角形组合的三角锁网。通过观测三角形各角角值或方向值，并测定一个或几个起始边边长和起始方位角(或起始于一个或几个已知点、已知方位角)，进而根据三角公式及最小二乘法原理，算得各角或方向的平差值以及各边的边长、方位角，根据已知点坐标推算出各未知点的坐标。

三角测量的基本布网形式为三角锁和三角网。锁网中的测量元素是角度或方向的，称为测角三角锁、测角三角网。测角三角锁网在平差后根据角度推算各边边长、方位角和各点坐标，是应用最广的传统布网方法。测量元素为边长的称为测边三角锁、测边三角网。测边三角锁网平差后根据边长推算三角形各角角值、各边方位角和各点坐标。6

2.勾股定理

在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，也就是直角三角形斜边上的正方形的面积等于两条直角边上正方形面积的和。这就是著名的勾股定理。由勾股定理，人们后来又相继推演出“勾股定理的逆定理”和“勾股数组”等数学概念。

3.三角链

三角形中有一条边经量度为已知，称为基线。其相邻的两角用经纬仪测出，就可确立整个三角形。测定许多这样的三角形，每个三角形至少与另一个三角形相邻，则可求得用其他方法无法测量的距离和角度。

4.三角函数

在直角坐标系中，以原点O为顶点，射线OX为始边，OP为终边的角为θ，设点P的坐标为(x，y)，距离lOPl=r，这时6个比y/r、x/r、y/x、x/y、r/x、r/y由角θ的大小确定，都是θ的函数，称它们为角θ的三角函数，分别叫做正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。3