[科普中国]-阿基米德公理

描述

阿基米德公理（又称阿基米德性质），是描述实数之间的大小关系的性质。它与柯西收敛准则共同描述了实数的连续性（即实数与数轴上的点一一对应）。2

这个概念源于古希腊对量的理论；如大卫·希尔伯特的几何公理，有序群、有序域和局部域的理论在现代数学中仍然起着重要的作用。

阿基米德公理可表述为如下的现代记法： 对于任何实数x，存在自然数n有n>x。

在现代实分析中，这不是一个公理。它退却为实数具完备性的结果。基于这理由，常以阿基米德性质的叫法取而代之。

形式叙述解释简单地说，阿基米德性质可以认为以下二句叙述的任一句：2

给出任何数，你总能够挑选出一个整数大过原来的数。

给出任何正数，你总能够挑选出一个整数其倒数小过原来的数。

这等价于说，对于任何正实数a、b，如果 a0时，取N=1即可，故以下证明均假设y>x>0。2

由于阿基米德性质与柯西收敛准则共同反映了实数的连续性，所以可以用实数的连续性公理——戴德金定理来证明二者。

其中柯西收敛准则的证明可参考相应词条，以下只通过戴德金定理来证明阿基米德性质。

反证法：假设不存在这样的正整数N，使Nx>y，即假设对一切正整数n，都有nx≤y。

根据上界的定义，y是数集{nx}的一个上界，这里n=1、2、3、……。取{nx}的所有上界作为集合B，并把B在实数集R中的补集记为A，则：

①显然y∈B，而0∈A，所以A、B都是非空数集——不空

②A∪B=R——不漏

③由取法可知，对B中的任一元素b，都有b≥nx。而因A中的元素都不是{nx}的上界，故对A中的任一元素a，在数集{nx}中存在某个数n0x，满足aξ，那么n0x∈B。

∵n0+1>n0，x>0，由不等式的性质可知(n0+1)x>n0x

但由数集B的定义，数集B中的任何一个元素都不小于nx，这里n=1、2、3、……而(n0+1)x∈{nx}，所以属于数集B的n0x也将不小于(n0+1)x，这样一来便产生了矛盾。

∴无论是哪种情况，都有nx≤ξ，n=1、2、3、……

取 ，则

∴存在自然数 和 ，满足

或

∵

而

∴有 ，矛盾

∴一定存在正整数N，使Nx>y成立，阿基米德性质得证。

推论设a是任一正实数，则存在正整数n，使不等式ay，即n>a。

该推论表示，自然数集N没有上界，即不存在一个数大于所有的自然数。

其他解释欧几里得的解释：

任意给定两个正实数a、b，必存在正整数n，使na>b。

几何描述：在长短不同的两条线段中，无论较长的线段怎样长，较短的线段怎样短，总可以在较长的线段上连续截取较短的线段，并且截到某一次以后，必出现下面两种情况：

1：没有剩余；

2：得到一条短于较短线段的剩余线段。

举例例1：

在一条直线上截取任意两条线段A,B。都符合A+A+A+···+A=A·N>B

这就是“阿基米德公理”有时也叫阿基米德-欧多克斯公理，因为阿基米德把这个命题归功于欧多克斯。其实，比欧多克斯更早些，我国古代《墨经》上已记载着“穷，或有前不容尺也”，指的正是这个意思。