[科普中国]-斜圆锥

定义

斜圆锥就是底面为圆形而且任意一个平行于底面且与之相交的平面与斜圆锥的截面都是圆形（在顶点处的截面可以视为是退化的半径为0的圆），而且这些截面圆的圆心都在底面中心O到顶点V的连线上的立体图形。

一般需要三个参数来确定斜圆锥的形状：底面半径r，底面中心O与顶点V的连线（不妨称为是中轴线）的长度L，以及顶点位矢与底面的法向量（方向为指向顶点的一侧）的有向交角的正切k（这个参数不妨称为倾斜度）

过斜圆锥的顶点作它与底面边缘的连线，可以发现连线的长度在两个点P1,P2上分别取最大值和最小值，如果以底面中心为原点，垂直于底面且指向顶点的一侧的方向为z轴正方向，向量P1P2的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系，那么斜圆锥面的方程可以写为

性质斜圆锥面是可展曲面，但是其展开图的方程却异常复杂，同样不难料到的是，斜圆锥的侧面的面积是关于r，k，L的十分复杂的函数，具体来说是十分复杂的积分，即使使用Maple和Mathematica这样的数学软件都难以得到封闭形式。

但是根据祖暅原理，参数为r，k，L的斜圆锥的体积与高为，底面半径为r的正圆锥等效，所以可以给出斜圆锥体积的封闭形式：

展开角在斜圆锥面的板金下料过程中· 会遇到确定其展开角度的问题。 对于正圆锥面，其展开角α可用展开后的中心角表示：

式中,R为圈锥的底圆半径,L为圆锥素线的实长。而对于斜圆锥面， 预先确定其展开角是比较困难的。 从数学上看，斜圆锥面的展开角可表达成椭圆积分的形式， 而这个积分用普通方法解是不出来的。经分析和研究，采用了图解计算法来解决这一问题， 并利用计算机来进行计算， 然后将计算结果绘制成曲线图。 事实证明，这种方法简便可行，并且是实用的。1